Читать «Пуанкаре» онлайн - страница 105

О чем беседовали прославленный английский математик и его молодой французский коллега, осталось неизвестным. Но можно не сомневаться, что очень скоро они углубились в обсуждение сугубо профессиональных вопросов. Пуанкаре, наверное, рассказывал о своих последних результатах по качественной теории дифференциальных уравнений, о дальнейшем приложении фуксовых функций к решению алгебраических проблем. Как раз незадолго до этого Фукс опубликовал в «Докладах» Берлинской академии статью, весьма заинтересовавшую Пуанкаре. Уже не раз задавал он себе вопрос: нельзя ли применить методы, оказавшиеся столь успешными при интегрировании линейных дифференциальных уравнений, к нелинейным уравнениям, пусть даже не ко всем, а только к некоторым? Существенное различие между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями заключалось в количестве особых точек: у первых их было конечное число, у вторых — бесконечное множество. Если бы среди нелинейных уравнений нашлись такие, которым соответствует ограниченная совокупность особых точек, то можно было бы попытаться применить к ним уже развитый для линейных уравнений подход. И вот Фукс формулирует теорему, в которой высказывает необходимые и достаточные условия для того, чтобы дифференциальное уравнение имело только конечное число особых точек. Повторялась ситуация, сложившаяся накануне открытия фуксовых функций. Немецкий математик снова заразил Пуанкаре лихорадкой поисков новых высших трансцендентных функций, с помощью которых можно было бы интегрировать некоторые из нелинейных дифференциальных уравнений. Но на этот раз после углубленного изучения вопроса Анри пришел к неутешительному итогу. Все нелинейные уравнения, которые удовлетворяли условиям Фукса, либо попросту сводились к линейным, либо же интегрировались с помощью уже известных функций, например эллиптических. Найти новый класс интегрируемых уравнений не удалось.

Рассказывая об этих и других своих исследованиях, Пуанкаре, быть может, посвятил гостя в еще один круг своих научных интересов, весьма отличный от всего, чем он занимался до сих пор. Находясь под глубоким впечатлением только что вышедшей из печати статьи Ковалевской, посвященной кольцу Сатурна, он решил заняться этой интереснейшей проблемой, увлекавшей многие великие умы на протяжении веков.