Читать «Пуанкаре» онлайн - страница 103

Проанализировав множество особых точек различного рода, он приходит к заключению, что все они сводятся к четырем основным видам: седло, фокус, центр и узел. Это была первая классификация и первые названия, которые сохранились до наших дней. Различаются эти особые точки тем, как ведут себя кривые в их ближайшей окрестности. В точке, которая получила название «седло», две кривые, имеющие вид сломанных под углом прямых, соприкасаются как раз вершинами углов. Остальные кривые через эту точку не проходят, а, словно струи воды, плавно загибаются в углах, ограниченных прямыми линиями, как стенками. Зато в «узле» сходятся сразу все кривые, попадающие в его окрестность. На «фокус» кривая наматывается подобно спирали или же, наоборот, раскручивающейся спиралью выбегает из этой точки. От «центра» кривые расходятся изолированными замкнутыми кольцами, как круги на воде. "Я изучил затем распределение этих особых точек в плоскости, — пишет Пуанкаре о следующем этапе своей работы. — Я показал при этом, что они всегда существуют (на конечном или бесконечном расстоянии) и что всегда выполняется простое соотношение между числом седел, фокусов и центров…" Всевозможные варианты поведения кривых, представляющих решения дифференциальных уравнений, могли теперь быть проиграны без особых затруднений: либо кривые замкнутыми линиями охватывают центр, либо они неограниченными спиралями навиваются на фокус, либо бесконечно удаляющаяся в одну сторону кривая упирается другим своим концом в узел, либо же кривая, исходящая из узла или фокуса, заканчивается в другом узле или фокусе. Была еще одна возможность, для описания которой Пуанкаре пришлось ввести новое понятие — предельный цикл.

Так была названа им особая замкнутая кривая, представляющая одно из решений дифференциального уравнения. Все другие кривые, определяемые этим уравнением, проходя вблизи предельного цикла, наматываются на него либо изнутри, либо снаружи. Неограниченно приближаясь к нему, они тем не менее никогда его не пересекают и даже не соприкасаются с этой недосягаемой для них кривой. Новое понятие оказалось не менее важным, чем понятие особой точки. Если известен предельный цикл, можно быть твердо уверенным, что кривая навсегда останется либо внутри его, либо вне, поскольку перейти эту границу она не может, как бы близко к ней ни подходила, ото значит, что можно указать пределы перемещения тела — либо верхние, либо нижние. Доказав, что число предельных циклов всегда конечно, не считая некоторых исключительных случаев, Пуанкаре разработал способы их обнаружения и дал общий метод для определения их количества.

Перед математиками открылись новые, совершенно необычные возможности. Все богатство решений некоторых видов дифференциальных уравнений становилось наглядным и легкообозримым, словно своеобразный топографический план, на котором вместо возвышенностей и котловин обозначены узлы и фокусы, а вместо линий уровня нанесены предельные циклы. Даже не зная решения дифференциального уравнения, можно было теперь делать выводы о характере движения. Геометрия решения шла впереди его аналитического, формульного представления. Впереди или рядом, потому что оба метода исследования — аналитический и качественный — не подменяли, а дополняли друг друга. Своим открытием фуксовых функций Пуанкаре уже отдал дань старому, аналитическому методу исследования дифференциальных уравнений, обогатив и расширив его возможности. Теперь им был создан еще один метод — качественный, которому предстояло большое будущее.