Читать «Ньютон» онлайн - страница 46

Во времена Ньютона математики делать этого не умели.

Но как мог Архимед делить шар на две части, объёмы которых находились бы в заданном отношении?

— Немыслимо, чтобы Архимед решил эту задачу случайно, — рассказывал на лекциях Барроу, большой знаток древних геометров, — решить её можно только угадыванием, месяцами чёрной и неблагодарной вычислительной работы. Он, несомненно, пользовался каким-то аналитическим методом, который скрывал…

Ньютон пока изучал, как проводится вычисление площади различных фигур. Площадь круга, например, можно очень грубо оценить, вычисляя площадь вписанного в него квадрата. Эта «площадь круга» будет, конечно, меньше площади круга. Зато отпала необходимость вычислять площадь, ограниченную кривой линией. Площадь вписанного восьмиугольника уже ближе к площади круга, вычислить её тоже можно. Площадь 128-угольника практически точно соответствует площади круга. Площадь круга можно вычислить, и вполне точно, если поставить задачу найти предел — площадь вписанного в круг бесконечно-угольника, сторона которого бесконечно мала. Точно так же можно вычислить площадь, ограниченную любой кривой линией, — если заменить её множеством прямоугольников или других легко вычисляемых фигур с бесконечно малой стороной.

Именно этой тропой шёл профессор геометрии Оксфордского университета Джон Валлис, один из основателей Королевского общества, автор книги «Арифметика бесконечного», работ по теории удара, приливов и отливов, звука и тяготения; а кроме того — сотрудник кромвелевской разведки, отгадчик секретных шифров роялистов (нужды практики не оставляли математику в покое).

Валлис шёл от Кавальери — он превращал сложные кривые в ступенчатые пирамиды. Иногда ему удавалось подобрать законы, управляющие высотой ступенек, и выразить их с помощью бесконечных рядов. (Он и не подозревал тогда, что занимается примитивным интегрированием.)

Валлис широко использовал метод интерполяции — поиск неизвестных членов математического ряда, лежащих между известными. Изучая один из валлисовских примеров — частный случай бинома (1–x)², - Ньютон сообразил, что между прямоугольными «ступеньками» можно расположить промежуточные прямоугольники, площади которых образуют с первыми геометрическую прогрессию. Это был, по существу, путь к «биному Ньютона».

Разработка в 1664–1665 годах биномиального разложения для какого угодно целого положительного показателя была крупнейшим научным достижением Ньютона, сравнимым по своему значению с открытием дифференциального и интегрального исчисления. Он сразу же находит для своего открытия выразительные применения. Записывает ряды для выражения сегмента и сектора круга, синуса, арксинуса, логарифмической функции. С помощью рядов Ньютон мог теперь изучать свойства функций, делать приближённые вычисления. В алгебре ряды были не менее важны, чем десятичные дроби в арифметике. Сам Ньютон говорил:

«Как десятичные дроби обладают тем преимуществом, что выраженные в них обыкновенные дроби и корни приобретают в некоторой степени свойства целых чисел, так что с ними можно обращаться как с последними, так и буквенные бесконечные ряды приносят ту пользу, что всякие сложные выражения можно с их помощью привести к бесконечному ряду дробей, при этом с небольшой затратой сил удаётся преодолеть трудности, в другом виде представляющиеся почти непреодолимыми».