Читать «О науке» онлайн - страница 7

Свойства сложения. Ассоциативность. Я утверждаю, что

a + (b + c) = (a + b) + c.

В самом деле, теорема справедлива для c = 1, в этом случае она изображается равенством

a + (b + 1) = (а + b) + 1.

А это — помимо различия в обозначениях — есть не что иное, как равенство (1), при помощи которого я только что определял сложение.

Предположим, что теорема будет справедлива для c = γ; я говорю, что она будет справедлива и для c = γ + 1; пусть, в самом деле,

(a + b) + γ = a + (b + γ);

отсюда следует

[(a + b) + γ] + 1 = [a + (b + γ)] + 1

или в силу определения (1)

(a + b) + (γ + 1) = a + (b + γ + 1) = a + [b + (γ + 1)],

а это показывает с помощью ряда чисто аналитических выводов, что теорема верна для γ + 1.

Но так как она верна для c = 1, то последовательно усматриваем, что она верна для c = 2, для c = 3 и т. д.

Коммутативность. 1. Я утверждаю, что

a + 1 = 1 + a.

Теорема, очевидно, справедлива для a = 1; путем чисто аналитических рассуждений можно проверить, что если она справедлива для а = y, то она будет справедлива для a = γ + 1; но раз она справедлива для a = 1, то она будет справедлива и для a = 2; для a = 3 и т. д.; это выражают, говоря, что высказанное предложение доказано путем рекурренции.

2. Я утверждаю, что

а + b = b + а.

Теорема только что была доказана для b = 1; можно аналитически проверить, что если она справедлива для b = β, то она будет справедлива для b = β + 1.

Таким образом, предложение доказано путем рекурренции.

Определение умножения. Мы определим умножение при помощи равенств

a × 1 = a,

a × b = [a × (b — 1)] + a.

(2)

Равенство (2), как и равенство (1), заключает в себе бесчисленное множество определений; после того как дано определение a × 1, оно позволяет определить пси следовательно a × 2, a × 3 и т. д.

Свойства умножения. Дистрибутивность. Я утверждаю, что

(а + b) × c = (а × с) + (b × с).

Мы проверяем аналитически справедливость этого равенства для c = 1; а потом проверяем, что если теорема справедлива для с = y, то она будет справедлива и для c = γ + 1.

Предложение опять доказано рекурренцией.

Коммутативность. 1. Я утверждаю, что

a × 1 = 1 × а.

Теорема очевидна для a = 1.

Проверяем аналитически, что если она справедлива для a = α, то она будет справедлива и для a = α + 1.

2. Я утверждаю, что

а × b = b × а.

Теорема только что была доказана для b = 1. Аналитически проверяем, что если она справедлива дли b = β, то она будет справедлива и для b = β +1

IV

Здесь я прерываю этот монотонный ряд рассуждений. Но именно эта монотонность и способствовала лучшему выделению того однообразного процесса, который мы находим на каждом шагу.

Этот процесс есть доказательство путем рекурренции. Сначала формулируется теорема для n = 1; при этом доказывается, что если она справедлива для n — 1, то она справедлива и для n, и отсюда выводится заключение о справедливости ее для всех целых чисел.

Мы только что видели, как можно воспользоваться этим для доказательства правил сложения и умножения, т. е. правил алгебраического вычисления; это вычисление есть орудие преобразования, которое применяется в гораздо большем числе разнообразных комбинаций, чем простой силлогизм; но это орудие еще чисто аналитическое, оно неспособно научить нас ничему новому. Если бы математика не имела ничего другого, она тотчас же остановилась бы в своем развитии; но она получает новое средство в том же процессе, т. е. в рассуждении путем рекурренции, и потому может непрерывно продолжать свое поступательное движение.