Читать «Мир математики. Том 16. Обман чувств. Наука о перспективе» онлайн - страница 70

ГРУППЫ ЛЕОНАРДО

Группы Леонардо — это группы движений с конечным числом элементов и точкой, положение которой остается неизменным вне зависимости от применяемого движения. Группы Леонардо содержат только повороты и различные виды отражений (зеркальной симметрии).

Существует два вида групп Леонардо. Первый — циклические группы, состоящие из одного поворота на некоторое число градусов, причем 360° делится на это число без остатка. Примером такой группы является С₃, содержащая поворот g на 120°. Элементами этой группы являются:

С₃  = {Id, g, g²},

где Id — нейтральный элемент.

Группа С₃ с обозначенной фиксированной точкой, которая является центром вращения.

Ко второму типу относятся так называемые диэдрические группы, образованные поворотом и симметрией, ось которой проходит через центр вращения. Такие группы обозначаются D_n.

Слева — фигура, инвариантная для D₃. Справа обозначены оси симметрии и повороты.

Например, D₃ состоит из поворота g на 120° и симметрии s. Элементами этой группы являются:

D₃ = {Id, g, g2, s, s°g, s°g²}.

Результат применения к исходной фигуре F движений Id, g и g².

Результат применения к исходной фигуре F движений s, g°s и g²°s.

Группа D₁ образована единственной симметрией.

* * *

Фриз церкви Санта-Мария-Новелла с 15 розами. Каждая имеет различную форму и вписана в квадрат.

_{(источник: АМА)}

Совокупность архитектурных элементов вписана в квадрат, который, в свою очередь, делится на четыре квадрата осью симметрии и верхней границей фриза. Аттик, возведенный над фризом, вписан в квадрат, в четыре раза меньший большого квадрата. Чтобы дополнить композицию и компенсировать разницу высот центрального и боковых нефов, архитектор использовал две треугольные волюты со скругленными краями, в которые вписаны две окружности. Аттик завершается фронтоном, в который вписана окружность с изображением солнца — герб этого района Флоренции. Диаметр центрального отверстия, если считать вместе с окаймлением, в два раза больше диаметра трех окружностей — верхней, расположенной на фронтоне, и двух боковых. В композиции, как можно увидеть невооруженным глазом, доминируют квадраты. Также можно заметить, что несколько раз используется золотое сечение, правда, с меньшей точностью, а также другие соотношения. Например, ширина и высота центрального портала относятся как 2:3.

Некоторые примеры использования золотого сечения.

_{(источник: FMC)} 

Использование подобных соотношений (не только золотого сечения) делает проект модульным, что упрощает его реализацию, а также имеет чисто эстетическую функцию, делая гармоничным сочетание различных частей единого целого.

Квадрат, в который вписана волюта, равен 1/16 большого квадрата. Соотношение сторон дверей церкви равно 2:3.