Читать «Маленькая книга о черных дырах» онлайн - страница 91

Проблема ограничений сама по себе более технического свойства, но ее тоже стоит упомянуть, потому что ее анализ позволяет лучше понять, как в действительности строится численное моделирование уравнений Эйнштейна. Обычно мы начинаем с некоторой исходной геометрии, например с двух невращающихся черных дыр, движущихся по орбитам друг вокруг друга, и ставим вопрос: что произойдет, когда мы отправимся вперед по оси времени? На практике это означает, что мы рассматриваем нашу большую сеть, дискрети-зирующую четырехмерное пространство-время, как разделенную на трехмерные пространственные элементы и что мы определяем течение времени в терминах функции хода, чтобы соединить эти элементы воедино. Обычно для каждого такого трехмерного пространственного элемента употребляется термин «квант времени», так как мы думаем о нем как о множестве точек в определенный момент времени. Что мы теперь должны сделать, так это задать нашему компьютеру метрику всего на нескольких (может быть, только на двух) последовательных квантах времени и затем запрограммировать его на продвижение на следующий квант посредством дискретизированных уравнений Эйнштейна. Мы планируем повторять эту процедуру, применяя стратегию исключения, чтобы избежать сингулярности, столько, сколько нам понадобится для того, чтобы черные дыры в нашей модели слились. И мы рассчитываем на то, что геометрия будет эволюционировать до тех пор, пока на последнем кванте времени в нашей модели мы не увидим единую слившуюся черную дыру плюс моментальную картину всех гравитационных волн, порожденных столкновением и уносящихся от его центра.

Но тут-то нас и ждет подвох. Как только выбор кванта времени сделан, оказывается, что некоторые из уравнений Эйнштейна не могут нам помочь в продвижении от одного кванта к следующему. Вместо этого их хватает всего лишь на то, чтобы ограничить тип геометрии, разрешенный для каждого кванта. Даже если мы сумеем со всей осторожностью добиться идеального удовлетворения этих ограничений для одного кванта времени, мы обычно обнаруживаем, что при использовании дискретизированных уравнений Эйнштейна для развития модели по оси времени ограничения для следующего кванта времени выполняются уже неидеально. Что еще хуже, это несовершенство растет со временем, и вся наша модель полностью теряет смысл! Решение этой проблемы оказывается столь же изощренным, как и сама проблема. Вместо того чтобы пытаться идеально удовлетворить ограничения на каждом кванте времени, мы должны заранее предвидеть, что в точности добиться этого не удастся – но зато мы можем изменить дискретизированные уравнения Эйнштейна, добавляя к ним то, что можно условно охарактеризовать как возвращающую силу. Она каждый раз будет как бы подталкивать решение обратно к удовлетворению ограничений. Эта возвращающая сила действует очень похоже на возвращающую силу пружины: растяните пружину от состояния равновесия, и она сожмется опять, чтобы вернуться в равновесное состояние, причем сила эта будет тем больше, чем дальше мы отошли от равновесия. В уравнения Эйнштейна мы, конечно, не вводим никакой физической силы – это скорее математический трюк, и в этом случае «равновесию» соответствует решение, удовлетворяющее ограничениям. В результате такого подхода работа с ограничениями, наряду с тщательным отбором вариантов представления уравнений Эйнштейна в дискретизированном пространстве-времени, приводит к созданию моделей, которые вполне способны отразить все детали структуры пространства-времени, проявляющиеся при столкновениях черных дыр, – конечно, при условии, что мы рассматриваем только геометрию вне горизонта.