Читать «Маленькая книга о черных дырах» онлайн - страница 88

Они в том, что полевые уравнения Эйнштейна являются дифференциальными уравнениями, а это значит, что они локальны: метрика изменяется в пределах бесконечно малой области в пространстве и времени. Дифференциальные уравнения почти всегда трудны для решения; невероятное количество исследований в различных областях математики, физики, химии и технических наук посвящено методам поиска приближенных решений таких уравнений. Взглянем на это вот с какой стороны: компьютер можно запрограммировать так, что он будет складывать, вычитать, умножать и делить, и эти основные арифметические операции он умеет делать с поразительной быстротой. Но верное решение дифференциального уравнения включает в себя в принципе бесконечно много основных операций, потому что в результате мы получаем не просто число, но некоторую непрерывную кривую – или, в случае уравнений Эйнштейна, – искривленное пространство-время, – а это требует определения бесконечно большого количества чисел. И конечно, ни один компьютер не может выполнить бесконечное количество вычислений за конечное время. Поэтому надо стремиться не к этому, а к отысканию некоторой стратегии выполнения хотя и большого, но конечного объема вычислений, в результате которых мы, тем не менее, получили бы результат, очень близкий к точному решению наших дифференциальных уравнений. Точнее говоря, мы хотим получить стратегию построения последовательности приближенных численных решений, каждое из которых дает все лучшее приближение к точному решению наших дифференциальных уравнений. И мы не считаем численную задачу решенной до тех пор, пока не убедимся, что приближенные численные решения настолько близки к точному решению, насколько нам это требуется, при наличии достаточного времени работы компьютера. В качестве аналогии представьте себе, что вы смотрите видео при медленном интернет-соединении. Если у вас хороший браузер, вы увидите размытое, пятнистое изображение, которое, впрочем, демонстрируется с нормальной скоростью, более или менее правильной цветопередачей и не очень искаженными масштабами. Но если соединение станет работать быстрее или если, прежде чем начинать просмотр, вы немного подождете, пока большая часть видео загрузится, компьютер сможет разбить фрагменты каждого изображения на блоки меньшего размера, в результате чего в изображении будет видно больше подробностей и цвета станут менее размытыми. А если вы дождетесь загрузки всего видео или если соединение будет работать еще быстрее, вы увидите ваше видео с максимально возможном разрешением, которое допускает ваш компьютер. Примерно так же обстоит дело и с последовательными аппроксимациями численных решений дифференциальных уравнений, с той разницей, что, в принципе, вы можете улучшать ваше решение бесконечно. Единственным ограничением будет время работы компьютера, которое вы хотите или можете потратить. Говоря о численном «моделировании» уравнений Эйнштейна, мы рискуем впасть в заблуждение, будто это выражение подразумевает, что наша цель состоит в имитации существенных свойств искривленного пространства-времени при игнорировании каких-то подробностей. В действительности же нашей целью является выработка стратегии поиска именно всех деталей структуры пространства-времени с любой предустановленной точностью за конечное время. При численном моделировании сталкивающихся черных дыр дополнительным признаком успеха служит достижение хорошего согласования ваших результатов с приближенным описанием режимов спирального сближения и затухания, которое существовало до того, как были разработаны действующие современные численные методы.