Читать «Красота в квадрате» онлайн - страница 27

Первый серьезный результат, полученный Тедом Хиллом, — это доказательство того, что при существовании некой универсальной закономерности распределения первых цифр оно подчиняется исключительно закону Бенфорда. То есть распределение первых цифр по Бенфорду — единственное, которое не меняется в случае изменения масштаба. Этот вывод позволил Теду изобрести игру, в которую мы с ним сыграли.

«Каждый из нас выбирает число, — объяснил мне Тед. — Затем мы их перемножаем. Если произведение начинается с цифры 1, 2 или 3, значит, выигрываю я; если с цифры 4, 5, 6, 7, 8 или 9 — то вы».

На первый взгляд может показаться, что в этой игре явный перевес в мою пользу, поскольку в моем распоряжении шесть цифр, тогда как у Теда — всего три. Тем не менее в большинстве случаев Тед будет выигрывать, выбирая числа в соответствии с распределением Бенфорда, другими словами — если на протяжении нескольких игр он будет выбирать числа, начинающиеся с цифры 1, — то в 30,1 процента случаев, цифру 2 — в 17,6 процента случаев и т. д. Если Тед будет действовать таким образом, от выбранного мной числа не зависит, какая цифра окажется первой: в 30,1 процента случаев это будет цифра 1, в 17,6 процента случаев — цифра 2, в 12,5 процента случаев — цифра 3. Сумма этих трех показателей составляет 60,2 процента; следовательно, Тед выиграет в 60,2 процента случаев. В эту игру хорошо играть на деньги: даже если в вашем распоряжении только 1, 2 и 3 в качестве целевых цифр, ваши шансы на победу гораздо выше, чем в случае цифр 4, 5, 6, 7, 8 и 9, хотя поначалу кажется, что это не так.

Эта игра помогает объяснить, почему многие массивы данных, формирующиеся естественным образом, подчиняются закону Бенфорда. Предположим, мы с Тедом сыграли в эту игру сто раз; у него были числа (a₁, a₂, a₃ … a₁₀₀), а у меня — числа (b₁, b₂, b₃ … b₁₀₀). Мы знаем, что если числа Теда удовлетворяют закону Бенфорда, то результат умножения его чисел на мои (a₁ × b₁, a₂ × b₂, a₃ × b₃ … a₁₀₀ × b₁₀₀) также подчиняется этому закону. Следовательно, если мы умножим эти числа на еще один набор случайно выбранных чисел (c₁, c₂, c₃ … c₁₀₀), для того чтобы получить еще один массив чисел (a₁ × b₁ × c₁, a₂ × b₂ × c₂, a₃ × b₃ × c₃ … a₁₀₀ × b₁₀₀ × c₁₀₀), этот массив тоже будет соответствовать закону Бенфорда. Дело в том, что, сколько бы массивов данных мы ни умножали друг на друга, достаточно, чтобы хотя бы один из них удовлетворял закону Бенфорда, для того чтобы этому закону подчинялся и массив результатов умножения. Другими словами, закон Бенфорда настолько зарази­телен, что наличие в мультипликативной цепочке единственного массива данных, удовлетворяющего ему, влияет на общий результат. Поскольку многие явления (такие как цены акций, численность населения, длина рек и т. д.) формируются под воздействием повышения или снижения различных показателей, обусловленного множеством независимых случайных факторов, это объясняет широкую распространенность неравномерного распределения первых цифр.