Читать «Золотой билет» онлайн - страница 35

(Алекс не в «Альфе» ИЛИ Дэвид не в «Альфе») И (Алекс не в «Альфе» ИЛИ Барбара не в «Альфе») И (Дэвид не в «Альфе» ИЛИ Кэти не в «Альфе») И (Кэти не в «Альфе» ИЛИ Барбара не в «Альфе»).

Допустим, Алекс, Кэти и Эрик принадлежат сообществу, а Барбара и Дэвид – нет; тогда наше выражение истинно, так как в каждом условии «ИЛИ» упоминается кто-то, кто в «Альфу» не входит. Теперь предположим, что сообществу принадлежат Алекс, Дэвид и Эрик. Тогда условие (Алекс не в «Альфе» ИЛИ Дэвид не в «Альфе») не выполняется, поскольку и Алекс, и Дэвид входят в сообщество, а значит – ложно и все выражение.

Наше выражение будет истинно только в том случае, когда все «альфовцы» действительно дружат между собой; с помощью подобных выражений клики отлавливаются очень легко.

Аналогичную конструкцию можно составить и для всех 20 тысяч жителей Королевства. В результате получится огромное, содержащее несколько миллионов символов выражение – впрочем, не настолько длинное, чтобы не уместиться в компьютер. Для краткости обозначим его буквой Φ. Очевидно, что Φ будет истинно только тогда, когда «альфовцы» в самом деле образуют клику.

Через Ψ50 обозначим выражение, истинное в том случае, если в «Альфу» входят хотя бы 50 человек. Не будем углубляться в его структуру; достаточно будет сказать, что построить его можно тем же способом, каким первые цифровые компьютеры выполняли сложение чисел.

Соединим наши выражения в одно: (Ψ50 И Φ). Если члены сообщества образуют клику размером не меньше 50, то новое выражение примет значение «истина», и наоборот – если выражение истинно, то члены сообщества образуют клику размером не меньше 50.

Логическое выражение, проверяющее принадлежность к сообществу, называется выполнимым, если сообщество можно составить таким образом, что выражение примет значение «истина». Выражение (Ψ50 И Φ) выполнимо, когда в сообществе есть клика размера не меньше 50.

Предположим, у нас есть быстрый алгоритм, проверяющий выполнимость логического выражения. Подадим ему на вход выражение (Ψ50 И Φ); если алгоритм ответит «да», то в Королевстве существует клика размера 50, а если «нет» – то не существует. Таким образом, алгоритм решения задачи о выполнимости позволяет решить и задачу о клике.

То, чем мы сейчас тут занимались, называется процессом сведения одной задачи к другой. Сведение широко используется в теории сложности, и мы с вами только что свели проблему клики к проблеме выполнимости логического выражения, показав тем самым, что любой метод решения задачи о выполнимости можно применить и к задаче о клике. Появление эффективного алгоритма для задачи о выполнимости означало бы, что такой алгоритм существует и для задачи о клике; найти клику не труднее, чем определить условия выполнимости, и если задачу о выполнимости можно легко решить – значит, задача о клике тоже легко решаема. С другой стороны, если бы кому-то удалось доказать, что для задачи о клике эффективного алгоритма не существует, это означало бы, что его не существует и для задачи о выполнимости.