Читать «Teopeмa Гёделя» онлайн - страница 41

^{Как мы помним, в парадоксе Ришара фигурирует некоторое число n, связанное с определенным математическим высказыванием. В рассуждении же Гёделя число п связывается с определенной арифметической формулой (которая лишь прелставляет метаматематическое высказывание). Таким образом, в теореме Гёделя в отличие от парадокса Ришара идет речь о некотором арифметическом свойстве чисел (задается вопрос, обладает ли число sub(n, 3, n) свойством, выражаемым формулой «∀ x ~ Dem(x, sub(n, 13, n))»), а не о метаматематическом, благодаря чему и не возникает дискредитирующего парадокса Ришара смешения высказывания на языке арифметики с высказыванием об арифметике.}

Ход рассуждения относительно несложен. Задача его сводится к тому, чтобы доказать, что если бы формула G была доказуема, то ее формальное отрицание (т. е. формула «~ ∀ x ~ Dem(x, sub(n, 13, n))» также было бы доказуемо, и обратно, если бы отрицание формулы G было доказуемо, то была бы доказуема и сама формула G. Отсюда мы получаем, что формула G доказуема в том и только в том случае, если доказуема формула ~ G.

^{Это утверждение доказано, строго говоря, не самим Гёделем, а Аж, Б. Россером (1936). Гёдель же получил несколько более слабый результат, позволяющий, впрочем, получить все интересующие нас важные выводы.}

Воспроизведем вкратце первую часть рассуждения Гёделя, согласно которой, если G доказуема, то и ~ G доказуема. Пусть G доказуема. Тогда должна существовать последовательность арифметических формул, являющаяся доказательством для G. Пусть гёделевский номер доказательства есть k. В таком случае между этим k и числом sub(n, 13, n), являющимся гёделевским номером G, должно иметь место арифметическое отношение, обозначаемое через «Dem(x, z)», т. е. «Dem(k, sub(n, 13, n)» должна быть истинной арифметической формулой. Можно, однако, показать, что это арифметическое отношение обладает тем свойством, что если оно имеет место для каких- либо двух чисел, то формула, выражающая это обстоятельство, непременно доказуема. Таким образом, формула «Dem(x, sub(n, 13, n))» не только истинна, но и формально доказуема, т. е. является теоремой. Но правила вывода элементарной логики позволяют нам немедленно вывести из этой теоремы формулу «~ ∀ x ~ Dem(x, sub(n, 13, n))». Таким образом, мы вывели из доказуемости формулы G доказуемость ее формального отрицания. Значит, если наша формальная система непротиворечива, то G в ней недоказуема.

Чтобы показать, что доказуемость ~ G влечет доказуемость G, требуется аналогичное, но несколько более громоздкое рассуждение, которое мы не будем пытаться здесь воспроизводить.

Как мы уже отмечали, если и некоторая формула, и ее отрицание выводимы из некоторой системы аксиом, то эта система противоречива (несовместна). Поэтому если аксиомы формализованной системы арифметики совместимы, то ни G, ни ее отрицание не могут быть доказуемыми. Иначе говоря, если наши аксиомы непротиворечивы, то G формально неразрешима в том точном смысле, что ни G, ни ~ G не выводимы из арифметических аксиом.