Читать «Teopeмa Гёделя» онлайн - страница 30

На идее отображения основан так называемый принцип двойственности в проективной геометрии, состоящий в возможности взаимной замены в аксиомах (а значит, и в теоремах) проективной геометрии терминов «точка» и «прямая», в результате чего аксиомы переходят в аксиомы (соответственно теоремы — в теоремы). При одном из таких «переводов» слово «точка» можно считать «образом», слово «прямая» — «прообразом»; при обратном переводе роли меняются.

Самым существенным в обсуждаемой здесь идее «моделирования» является то, что абстрактная структура отношений, выполняемых для «предметов» какой- либо области, может быть изучена с помощью рассмотрения отношений, имеющих место между «предметами» (как правило, другой природы, чем «предметы» исходной области), принадлежащими совсем другой области. Именно эта идея «кодирования» лежит в основе доказательства Гёделя. Если некоторые сложные метаматематические высказывания о формализованной системе арифметики можно, как рассчитывает Гёдель, перевести (или «отобразить») в некоторые арифметические высказывания, принадлежащие самой системе, то это уже само по себе явится большим достижением в деле развития теоретико-доказательственной техники, так же, как исследовать алгебраические соотношения, представляющие (изображающие, кодирующие) некоторые геометрические соотношения между кривыми и поверхностями, гораздо удобнее, чем иметь дело с самими геометрическими соотношениями, — точно так же арифметические аналоги («образы») сложных логических соотношений оказываются в известном смысле более обозримыми и доступными для изучения, чем их логические «прообразы».

Использование идеи кодирования, как мы уже отмечали, лежит в основе знаменитой работы Гёделя. Следуя схеме рассуждения, очень близкой к той, что проводится в парадоксе Ришара (но усовершенствуя ее при этом таким образом, что она становится неуязвимой по отношению к сформулированным выше критическим заключениям), Гёдель показывает, что метаматематические высказывания об арифметическом формализованном исчислении можно представить посредством некоторых арифметических формул внутри исчисления. Как мы покажем подробнее в следующем разделе, ему удалось найти такой метод арифметического кодирования метаматематических высказываний, что для некоторой формулы, выражающей истинное метаматематическое утверждение о формулах арифметики, ни она сама, ни ее отрицание не доказуемы в формальной арифметике. Поскольку одна из этих формул, выражающая истинное арифметическое высказывание, не выводима из арифметических аксиом, то аксиомы образуют неполную систему. Предложенный Гёделем метод кодирования позволил ему также построить арифметическую формулу, соответствующую метаматематическому высказыванию «арифметическое исчисление непротиворечиво», и показать, что эта формула недоказуема в (этом же!) арифметическом исчислении. Отсюда следует, что упомянутое метаматематическое высказывание не может быть установлено без привлечения некоторых дополнительных дедуктивных средств, не представимых (т. е. не кодируемых, не переводимых) в самом арифметическом исчислении, так что если это высказывание и можно доказать, то уж заведомо с привлечением средств, непротиворечивость которых не менее сомнительна, нежели сама по себе непротиворечивость арифметики. Все важнейшие выводы были получены Гёделем с использованием придуманной им чрезвычайно остроумной системы числового кодирования, или, как мы будем далее говорить, нумерации.