Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 70
ves
Фиг. 6.4. Диаграмма, подобная изображенной на фиг. 6.3, для серии из шести испытаний.
Число «способов», соответствующих каждой точке диаграммы,– это просто число различных «путей» (т. е., попросту говоря, последовательность выпадения «орла» и «решки»), которыми можно прийти в эту точку из начальной, не возвращаясь при этом назад, а высота этой точки дает общее число выпадений «орла». Этот набор чисел известен под названием треугольника Паскаля, а сами числа называются биномиальными коэффициентами, поскольку они появляются при разложении выражения , Обычно эти числа на нашей диаграмме обозначаются символом , или (число сочетаний из n по k), где n – полное число
испытаний, а k – число выпадений «орла». Отмечу попутно, что биномиальные коэффициенты можно вычислять по формуле:
(6.4)
где символ , называемый «n-факториалом», обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n, т. е. . Теперь уже все готово для того, чтобы с помощью выражения (6.1) подсчитать вероятность выпадения k раз «орла» в серии из n испытаний. Полное число всех возможностей будет (поскольку в каждом испытании возможны два исхода), а число равновероятных комбинаций, в которых выпадет «орел», будет , так что
(6.5)
Поскольку – доля тех серий испытаний, в которых выпадение «орла» ожидается k раз, то из ста серий k выпадений «орла» ожидается раз. Пунктирная кривая на фиг. 6.2 проведена как раз через точки функции . Видите, мы ожидали получить 15 выпадений «орла» в 14 или 15 сериях испытаний, а получили только в 13. Мы ожидали получить 16 выпадений «орла» в 13 или 14 сериях испытаний, а получили в 16. Но такие флуктуации вполне допускаются «правилами игры».
Использованный здесь метод можно применять и в более общей ситуации, где в каждом единичном испытании возможны только два исхода, которые давайте обозначим через В (выигрыш) и П (проигрыш). Вообще говоря, вероятности В и П в каждом отдельном испытании могут быть разными. Пусть р, например, будет вероятностью результата В. Тогда q (вероятность результата П) должна быть равна . В серии из n испытаний вероятность того, что результат В получится k раз, равна
(6.6)
Эта функция вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятности.
§ 3. Случайные блуждания
Существует еще одна интересная задача, при решении которой не обойтись без понятия вероятности. Это проблема «случайных блужданий». В простейшем варианте эта задача выглядит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки х=0, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки х), либо назад (до точки -х), причем решение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно, ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе – так называемое броуновское движение – или образование ошибки при измерениях. Вы увидите, насколько проблема «случайных блужданий» тесно связана с описанным выше опытом с подбрасыванием монеты.