Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 109

Давайте посмотрим теперь, как вычислить движение Непту­на, Юпитера, Урана и остальных планет. Можно ли сделать подробные расчеты со множеством планет, учитывая к тому же и движение Солнца? Разумеется, можно. Найдем сначала силу, действующую на каждую данную планету, например на ту, которую мы обозначим номером i и координаты которой х_i, y_i и z_i (i=1 может означать Солнце, i=2 – Меркурий, i=3 – Венеру и т. д.). Наша задача – найти координаты всех планет. По закону тяготения x-компонента силы, действующая на i-ю планету со стороны планеты номер j' с координатами х_j у_j, z_j, будет равна –Gm_im_j(x_i-x_j)/r³_jj . Если же учесть силы со стороны всех планет, то получим следующую систему уравнений:

где r_ij – расстояние между i-й и j-й планетами:

означает суммирование по всем остальным планетам, r. е. по всем значениям j, за исключением, конечно, j = i. Таким образом, чтобы решить это уравнение, нужно лишь зна­чительно увеличить количество столбцов в нашей таблице. Для движения Юпитера понадобится девять столбцов, для Сатур­на – тоже девять и т. д. Если нам заданы все начальные по­ложения и скорости, то из уравнения (9.18) можно подсчитать все ускорения, вычислив, конечно, предварительно по формуле (9.19) все расстояния r_ij,. А сколько же времени потребуется на все эти вычисления? Если вы будете делать их сами дома, то очень много! Однако сейчас уже имеются машины, неимоверно быстро выполняющие все арифметические расчеты. Сложение, например, такая машина выполняет за 1 мксек, т. е. за одну миллионную долю секунды, а умножение – за 10 мксек. Так что если один цикл расчетов состоит из 30 операций умноже­ния, то это займет всего лишь 300 мксек, или за 1 сек можно сделать 3000 циклов. Если мы хотим считать с точностью до одной миллиардной, то для того, чтобы покрыть все время об­ращения планеты вокруг Солнца, требуется 4•10⁵ циклов. (Оказывается, что ошибка в расчетах приблизительно пропор­циональна квадрату . Если брать интервал в тысячу раз мень­ший, то ошибка уменьшится в миллион раз. Так что для обес­печения нашей точности нужно взять интервал в 10 000 раз меньше.) На машине это займет 130 сек, или около 2 мин. Всего лишь 2 мин, для того чтобы «прогнать» Юпитер вокруг Солнца и при этом еще с точностью до одной миллиардной учесть все возмущения от других планет!

Итак, в начале этой главы для вас были загадкой движения грузика на пружинке, однако теперь вооруженные таким мощ­ным орудием, как законы Ньютона, вы можете вычислять не только такие простые явления, как качание грузика, но и неи­моверно сложные движения планет, причем с любой желаемой точностью! Нужна только машина, знающая арифметику.

Глава 10 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

§ 1. Третий закон Ньютона

Второй закон Ньютона, который связывает ускорение любого тела с действующей на него силой, позволяет хотя бы в принципе решить любую механическую задачу. Можно, напри­мер, с помощью числового метода, знакомого вам уже по предыдущей главе, определить движение нескольких частиц. Однако имеется еще достаточно причин, чтобы продолжить изучение законов Ньютона. Во-первых, су­ществуют такие сравнительно простые случаи движения, которые можно изучать не только числовым путем, но и с помощью прямых мате­матических методов. Вы знаете, например, что ускорение свободно падающего тела постоянно и равно 9,8 м/сек². Исходя из этого, можно бы­ло бы численно восстановить всю картину дви­жения, однако гораздо проще и удобнее с по­мощью математического анализа найти общее решение: s=s₀+v₀t+4,9t². To же самое относится и к гармоническому осциллятору, расчету которого была посвящена часть пре­дыдущей главы. Можно было бы просто ана­литически доказать, что функция cost является точным решением этой задачи, поэтому нет необходимости в арифметических упражнениях, если ответ можно получить более простым и строгим методом.