Читать «K читателям русского издания» онлайн - страница 107
ves
Таблица 9.1 • решение уравнения (dvx/dt)=-x Интервал =0,10 сек
Ну, а теперь все готово для расчетов. Для удобства можно их выполнить в виде таблицы, в столбцах которой стоят время, положение, скорость и ускорение, причем скорость пишется в промежутках между строками (табл. 9.1). Такая таблица есть, конечно, просто удобный способ записи результатов, полученных из уравнений (9.16), и фактически полностью заменяет их. Мы просто заполняем одно за другим свободные места в ней и получаем очень интересную картину движения: сначала грузик находится в покое, затем понемногу приобретает отрицательную скорость (вверх), а это приводит к уменьшению его расстояния от точки равновесия. При этом хотя ускорение и становится меньше, оно все еще «подгоняет» скорость. Однако по мере приближения к положению равновесия (х=0) ускорение становится все меньше и меньше, скорость нарастает все медленней и медленней, но все же еще нарастает вплоть до точки x=0, которая достигается примерно через 1,5 сек. Скажем по секрету, что произойдет дальше. Грузик, конечно, не остановится в точке х=0, а пойдет дальше, но теперь все пойдет наоборот: его положение х станет отрицательным, а ускорение – положительным. Скорость начнет уменьшаться. Интересно сравнить полученные нами числа с функцией cost. Результат этого сравнения представлен на фиг. 9.4.
Оказывается, что в пределах точности наших расчетов (три знака после запятой) совпадение полное! Позднее вы узнаете, что функция cos t – точное решение нашего уравнения, так что у вас теперь есть наглядное представление о мощи численного анализа: столь простой расчет дает столь точный результат.
§ 6. Движение планет
Приведенный анализ очень подходит к движению осциллирующей пружинки с грузиком, но можно ли таким же путем вычислять движение планеты вокруг Солнца? Давайте посмотрим, можно ли при некоторых приближениях получить эллиптическую орбиту. Предположим, что Солнце бесконечно тяжелое в том смысле, что его движение не будет приниматься в расчет.
Допустим, что в известной точке планета начала свое движение и имеет определенную скорость. Она движется вокруг Солнца по какой-то кривой, и мы попытаемся определить с помощью уравнений движения Ньютона и его же закона всемирного тяготения, что это за кривая. Как это сделать? В некоторый момент времени планета находится в каком-то определенном месте, на расстоянии r от Солнца; в этом случае известно, что на нее действует сила, направленная по прямой к Солнцу, которая, согласно закону тяготения, равна определенной постоянной, умноженной на произведение масс планеты и Солнца и деленной на квадрат расстояния между ними. Чтобы рассуждать дальше, нужно выяснить, какое ускорение вызывает эта сила.
Однако в отличие от предыдущей задачи нам потребуются теперь компоненты ускорения в двух направлениях, которые мы назовем х и у. Положение планеты в данный момент будет определяться координатами х и у, поскольку третья координата z всегда равна нулю.