Читать «Физика сплошных сред» онлайн - страница 7

А как быть с пятикратной симметрией? Если мы предположим, что основные векторы а и b имеют одинаковую длину и образуют угол 2p/5=72° (фиг. 30.8, б), то должна существовать эквивалентная точка решетки в D под 72° к линии АС. Но вектор b' от Е к D тогда короче b, и b уже не основной вектор. Пятикратной симметрии быть не может. Единственные возможности, не приводящие к подобным трудностям, это q=60, 90 или 120°. Очевидно, допустимы также нуль и 180°. Можно еще так выразить полученный нами результат: рисунок может не меняться при повороте на полный оборот (ничего не изменяется), полоборота, одну треть, одну четверть или одну шестую оборота. И этим исчерпываются все возможные вращательные симметрии на плоскости — всего их пять. Если 8=2p/n, то мы говорим об «n-кратной» симметрии, или симметрии n-го порядка. Мы говорим, что узор, для которого nравно 4 или 6, обладает более «высокой симметрией», чем узор с n, равным 1 или 2.

Вернемся к фиг. 30.7, а. Мы видим, что узор там обладает четырехкратной вращательной симметрией. На фиг. 30.7, б мы нарисовали другое расположение, которое обладает теми же свойствами симметрии, что и фиг. 30.7, а. Маленькие фигурки, похожие на запятые,— это асимметричные объекты, которые служат для определения симметрии изображения внутри каждого квадратика. Заметьте, что запятые в соседних квадратиках перевернуты попеременно, так что элементарная ячейка больше одного квадратика. Если бы запятых не было, рисунок по-прежнему обладал бы четырехкратной симметрией, но элементарная ячейка была бы меньше. Посмотрим внимательно на фиг. 30.7; мы обнаружим, что они обладают еще и другими типами симметрии. Так, отражение относительно каждой пунктирной линии R—R воспроизводит рисунок без изменений. Но это еще не все. У них есть еще один тип симметрии. Если отразить рисунок относительно линии y—y, а затем сдвинуть на один квадратик вправо (или влево), то снова получится первоначальный рисунок. Линия у—у называется линией скольжения.

Этим исчерпываются все типы симметрии в пространстве двух измерений. Есть еще одна пространственная операция симметрии, которая на плоскости эквивалентна вращению на 180°, однако в трехмерном пространстве она не сводится к этому вращению, а есть совсем другая операция. Я говорю об инверсии. Под инверсией мы подразумеваем такую операцию, когда любая точка, отвечающая вектору смещения из начала координат R (например, точка А на фиг. 30.9, б), переносится в точку —R.

Фиг. 30.9. Операция симметрии, называемая инверсией.

в — в трех измерениях рисунок не симметричен после операции инверсии;

г — рисунок симметричен в трех измерениях.

Инверсия рисунка а на фиг. 30.9 дает новый рисунок, а инверсия рисунка б приводит к такому же рисунку. На двумерном узоре (вы можете это видеть) инверсия рисунка б в точке А эквивалентна повороту на 180° вокруг той же самой точки. Предположим, однако, что мы сделали узор на фиг. 30.9, б трехмерным, вообразив на маленьких шестерках и девятках «стрелочки», смотрящие из страницы кверху. В результате инверсии в трехмерном пространстве все стрелочки перевернутся и направятся вниз, так что узор не воспроизведется. Если мы обозначим острия и хвосты стрелок точками и крестиками, то сможем образовать трехмерный рисунок (фиг. 30.9, в), который несимметричен относительно инверсии, или же мы можем получить рисунок, который такой симметрией обладает (фиг. 30.9, г). Заметьте, что трехмерную инверсию нельзя получить никакой комбинацией вращений.