Читать «Физика сплошных сред» онлайн - страница 137

вышла через А₂. Изменение масс в этих двух концах должно быть одинаково:

Таким образом, мы получаем равенство

Оно говорит нам, что при постоянном r скорость изменяется обратно пропорционально площади трубки тока.

Вычислим теперь работу, произведенную давлением в жидкости. Работа, произведенная над жидкостью, входящей со стороны сечения А₁, равна р₁A₁v₁АDt, а работа, произведенная в сечении А₂, равна p₂A₂v₂Dt. Следовательно, полная работа, произведенная над жидкостью, заключенной между A₁ и А₂, будет

что должно быть равно возрастанию энергии массы жидкости DM при прохождении от А₁до А₂. Другими словами,

где Е₁ — энергия единицы массы жидкости в сечении А₁, а Е₂ — энергия единицы массы в сечении А₂. Энергию единицы массы жидкости можно записать в виде

где ¹/₂v² — кинетическая энергия единицы массы, j — потенциальная энергия, a U — дополнительный член, представляющий внутреннюю энергию единицы массы жидкости. Внутренняя энергия может соответствовать, например, тепловой энергии сжимаемой жидкости или химической энергии. Все эти величины могут изменяться от точки к точке. Воспользовавшись выражением для энергии в уравнении (40.16), получим

Но мы видели, что DМ=rDvDt, и получили

а это как раз приводит нас к результату Бернулли, где имеется дополнительный член, представляющий внутреннюю энергию. Если жидкость несжимаемая, то внутренняя энергия с обеих сторон одна и та же и мы снова убеждаемся в справедливости уравнения (40.14) вдоль любой линии тока.

Рассмотрим теперь некоторые простые примеры, в которых интеграл Бернулли позволяет нам сразу описать поток. Предположим, что из отверстия вблизи дна резервуара вытекает вода (фиг. 40.7).

Фиг. 40.7. Вытекание жидкости из резервуара.

Рассмотрим случай, когда скорость потока v_вых в отверстии гораздо больше скорости потока вблизи поверхности воды в резервуаре; другими словами, предположим, что диаметр резервуара настолько велик, что падением уровня жидкости можно пренебречь. (Мы могли бы при желании проделать и более аккуратные вычисления.) Давление на поверхность воды в резервуаре равно р₀(атмосферному давлению), т. е. такое же, как и давление на бока струи. Напишем теперь уравнение Бернулли для линии тока наподобие той, что показана на фиг. 40.7. В верхней части резервуара скорость v мы примем равной нулю; гравитационный потенциал j здесь выберем тоже равным нулю. В отверстии же скорость равна v_вых а j =-gh, так что

или

Скорость получилась в точности равной скорости предмета, падающего с высоты h. В этом нет ничего удивительного —ведь в конечном счете вода на выходе получает свою кинетическую энергию из запаса потенциальной энергии воды, находящейся наверху резервуара. Однако не воображайте, что вы можете определить скорость убывания жидкости из резервуара, умножив эту скорость v_вых на площадь отверстия. Скорости частиц жидкости в тот момент, когда струя вырывается из отверстия, не параллельны друг другу, а имеют компоненту, направленную к центру потока; струя сужается. Пройдя небольшое расстояние, струя перестает сжиматься, и скорости становятся параллельными. Таким образом, полный поток равен скорости, умноженной на площадь именно в том месте, где сжатие струи прекратилось. На самом деле, если у нас есть выходное отверстие просто в виде круглой дыры с острым краем, то сечение струи сокращается до 62% от площади отверстия. Уменьшение эффективной площади выходного отверстия для различных форм выходных труб разное, а его экспериментальное значение можно найти в таблице коэффициентов истечения.