Читать «Журнал «Компьютерра» № 6 от 14 февраля 2006 года» онлайн - страница 94

Машины, работающие за полиномиальное время с подсказкой, кажутся гораздо мощнее, чем обычные машины без подсказки. Действительно, им нужно всего лишь проверить данный ответ, а обычной машине нужно его сначала найти. Однако вопрос о том, нельзя ли каждую недетерминированную машину Тьюринга превратить в детерминированную, до сих пор открыт. Собственно, это и есть знаменитая проблема равенства классов P и NP.

Учитывая сказанное выше об NP-полных задачах, проблема будет решена положительно, если найдется полиномиальный алгоритм хотя бы для одной NP-полной задачи. Но пока таковых нет даже в перспективе; более того, нет даже субэкспоненциальных алгоритмов (то есть тех, которые бы работали за время, меньшее 2 cn , но большее полиномиального – например, за 2 √ n~). Такие алгоритмы существуют только для задач, которые подозревают в том, что они занимают промежуточное положение – и не полиномиальные, и не NP-полные. Такова, например, проблема изоморфизма графов: по двум данным графам понять, можно ли перевести вершины одного графа в вершины другого так, чтобы ребра переходили в ребра. Впрочем, подозрения могут и не оправдаться: например, одним из самых громких результатов последних лет был полиномиальный алгоритм для задачи проверки числа на простоту. Примечательно, кстати, что проверка на простоту оказывается принципиально проще, чем разложение на множители[Возможно, это покажется менее странным, если напомнить, что сложность измеряется от длины входа. А длина входа в данном случае – это длина числа в двоичной записи, то есть примерно его логарифм. И алгоритм, чтобы быть полиномиальным от длины входа, должен быть логарифмическим от величины числа, которое нужно проверить на простоту].

Теперь, когда мы поняли формулировку задачи, перейдем к ее обсуждению.

Первое: почему она так сложна? Конечно, можно сказать «потому что вот уже полвека пытаются и никак не могут», но есть и более интересные и глубокие причины. Я уже упоминал в сноске, что если рассмотреть «классы с оракулами», то для разных оракулов ответ получится разным. Переход от обычных классов к классам с произвольными оракулами называется релятивизацией. Большинство существующих идей и методов доказательства теорем в теории сложности вычислений выдерживают релятивизацию, то есть могут быть обобщены на случай произвольного оракула. Стало быть, все эти идеи и методы для доказательства (не)равенства P и NP неприменимы! Более того, в 1996 году Александр Разборов (наш соотечественник, лауреат премии Неванлинны) и Стивен Рудих (Steven Rudich) ввели класс так называемых естественных доказательств и показали, что нет естественных доказательств, которые бы позволили доказать, что SAT не решается за полиномиальное время. Под впечатлением таких результатов некоторые математики начинают склоняться к тому, что несовпадение P и NP может оказаться недоказуемым в рамках существующей аксиоматики. В 2002 году проводился даже опрос на эту тему. Из ста исследователей на вопрос «как вы считаете, равны ли P и NP?» 61 ответил «нет», 9 – «да», 22 – «сомневаюсь» и 8 – «наверное, вопрос не зависит от существующей аксиоматики».