Читать «Электричество и магнетизм» онлайн - страница 30

Пусть Г — произвольный замкнутый контур в пространстве (воображаемый, разумеется). Пример мы видим на фиг. 3.7. Криволинейный интеграл от касательной составляющей С по контуру записывается в виде

(3.30)

Фиг. 3.7. Циркуляция вектора С но кривой Г есть криволинейный интеграл от С_t (касательной составляющей С).

Фиг. 3.8. Циркуляция по всему контуру есть сумма циркуляции по двум контурам: Г₁=Г_a+Г_ab и Г₂=Г_ь+Г_aЬ.

Заметьте, что интеграл берется по всему замкнутому пути, а не от одной точки до другой, как это делалось раньше. Кружочек на знаке интеграла должен нам напоминать об этом. Такой интеграл называется циркуляцией векторного поля по кривой Г. Название связано с тем, что первоначально так рассчитывали циркуляцию жидкости. Но название это, как и поток, было распространено на любые поля, даже такие, в которых «циркулировать» нечему.

Забавляясь той же игрой, как с потоком, мы можем показать, что циркуляция вдоль контура есть сумма циркуляции вдоль двух меньших контуров. Положим, что, соединив две точки (1) и (2) первоначальной кривой с помощью некоторой линии, мы разбили кривую на два контура Г₁ и Г₂ (фиг. 3.8). Контур Г₁ состоит из Г_a — части первоначальной кривой слева от (1) и (2) и «соединения» Г_{ab. Контур Г2 состоит из остатка первоначальной кривой плюс то же соединение.}

Циркуляция вдоль Г₁ есть сумма интеграла вдоль Г_а и вдоль Г_аЬ. Точно так же и циркуляция вдоль Г₂ есть сумма двух частей, одной вдоль Г_b, другой — вдоль Г_ab. Интеграл вдоль Г_ab для кривой Г₂ имеет знак, противоположный тому знаку, который он имел для кривой Г_{1, потому что направления обхода противоположны (в обоих криволинейных интегралах направления поворота нужно брать одни и те же).}

Повторяя прежние аргументы, мы можем убедиться, что сумма двух циркуляции даст как раз криволинейный интеграл вдоль первоначальной кривой Г. Интегралы по Г_ab сократятся. Циркуляция по одной части плюс циркуляция вдоль другой равняется циркуляции вдоль внешней линии. Этот процесс разрезания большого контура на меньшие можно продолжить. При сложении циркуляции по меньшим контурам смежные части будут сокращаться, так что сумма их сведется к циркуляции вдоль единственного первоначального контура.

Теперь предположим, что первоначальный контур — это граница некоторой поверхности. Существует бесконечное множество поверхностей, границей которых служит все тот же первоначальный замкнутый контур. Наши результаты не зависят, однако, от выбора этих поверхностей. Сперва мы разобьем наш первоначальный контур на множество малых контуров, лежащих на выбранной поверхности (фиг. 3.9).