Читать «Искусство философствования» онлайн - страница 45

Таким образом, понятия, в целом, обладают определенной областью, к которой они применимы в полной мере, и определенной областью, к которой они точно неприменимы. Однако понятия, претендующие на точность, такие как «метр» и «секунда», несмотря на то, что они обладают широкой областью применения (в пределах приблизительной области), к которой они точно неприменимы, совершенно не обладают той областью, к которой они применимы в полной мере. Если они должны применяться в полной мере, то нужно пожертвовать претензией на точность.

Подведем итог нашего обсуждения: математика не обладает той точностью, на которую претендует, она так же приблизительна, как и все остальное знание. Тем не менее, это не имеет никакого значения с практической точки зрения, поскольку в любом случае все наше знание внешнего мира лишь приблизительно.

Я решил обсудить этот вопрос, поскольку многие люди считают, что математика претендует на знание высшего рода, и эта претензия – в тех, кто убежден, что она не оправданна, – рождает сопротивление, которое мешает их обучению математике и восприятию математического рассуждения. Абсолютная точность математики недостижима. Она существует – в той мере, в какой она существует, – лишь благодаря тому факту, что математическое знание на самом деле вербальное, а не эмпирическое, знание, и язык, с помощью которого это знание выражается, довольно сложен.

Но я еще не все сказал о точности. Мы не можем обладать точным знанием о мире, и это правда, но знаем, что, выражаясь математическим языком, результаты верны в той мере, в какой мы можем об этом судить. Иными словами, математики предлагают лучшую рабочую гипотезу для понимания мира. Научные гипотезы могут казаться более или менее ложными, но именно новые математические изобретения снабжают их необходимыми исправлениями. Ньютоновский закон тяжести считался истинным в течение двух с половиной веков и был затем исправлен Эйнштейном; однако универсум Эйнштейна был столь же математическим, что и универсум Ньютона. Квантовая теория разработала совершенно иную, чем классическая, физику атома, но также продолжала работать с математическими символами и уравнениями. Изобретенный математиками аппарат понятий и операций незаменим при объяснении многообразных явлений в мире, благодаря действию общих законов; единственные гипотезы, имеющие шанс на истинность в наиболее развитых науках, предлагаются математиками.