Читать «6. Электродинамика» онлайн - страница 7

Иными словами, если бы эти прочие заряды каким-то образом изменились, а условия в Р, описываемые электрическим и магнитным полем в точке Р, остались бы прежними, то движение заряда тоже не изменилось бы. «Реальное» поле тогда есть совокупность чисел, заданных так, что то, что происходит в некоторой точке, зависит только от чисел в этой точке и нам больше не нужно знать, что происходит в других местах. Именно с таких позиций мы и хотим выяснить, является ли векторный потенциал «реальным» полем.

Вас может удивить тот факт, что векторный потенциал определяется не единственным образом, что его можно изменить, добавив к нему градиент любого скаляра, а силы, действующие на частицы, не изменятся. Однако это не имеет ничего общего с вопросом реальности в том смысле, о котором мы говорили, К примеру, магнитное поле как-то меняется при изменении относительного движения (равно как и Е или А). Но нас нисколько не будет заботить, что поле можно изменять таким образом. Нам это безразлично; это никак не связано с вопросом о том, действительно ли векторный потенциал—«реальное» поле, пригодное для описания магнитных эффектов, или же это просто удобный математический прием.

Мы должны еще сделать кое-какие замечания о полезности векторного потенциала А. Мы видели, что им можно пользоваться в формальной процедуре расчета магнитных полей заданных токов, в точности как j может применяться для отыскания электрических полей. В электростатике мы видели, что j давалось скалярным интегралом

(15.22)

Из этого j мы получали три составляющих Е при помощи трех дифференцирований. Обычно это было легче, чем вычислять три интеграла в векторной формуле

(15.23)

Во-первых, их три, а во-вторых, каждый из них вообще-то немного посложнее, чем (15.22).

В магнитостатике преимущества не так ясны. Интеграл для А уже сам по себе векторный:

(15.24)

т. е. здесь написаны три интеграла. Кроме того, вычисляя ротор А для получения В, надо взять шесть производных и расставить их попарно. Сразу не ясно, проще ли это, чем прямое вычисление

(15.25)

В простых задачах векторным потенциалом часто бывает пользоваться труднее, и вот по какой причине. Предположим, нас интересует магнитное поле В в одной только точке, а задача обладает какой-то красивой симметрией. Скажем, нам нужно знать поле в точке на оси кольцевого тока. Вследствие симметрии интеграл в (15.25) легко возьмется и вы сразу получите В. Если бы, однако, мы начали с А, то пришлось бы вычислять В из производных А, а для этого надо было бы знать А во всех точках по соседству с той,которая нас интересует. Большая же часть их не лежит на оси симметрии, интеграл для А усложняется. В задаче с кольцом, например, пришлось бы иметь дело с эллиптическими интегралами. В подобных задачах А, разумеется, не приносит большой пользы. Во многих сложных задачах, бесспорно, легче работать с А, но в общем трудно было бы доказывать, что эти технические облегчения стоят того, чтобы начать изучать еще одно векторное поле.