Читать «Журнал «Компьютерра» №37» онлайн - страница 73

1966: Александр Гротендик (Alexander Grothendieck; о его жизни можно писать отдельную статью, и преувлекательно выйдет - например, говорят, что сейчас он живет отшельником где-то в Пиренеях, но точно никто ничего об этом не знает; а в математике это фигура примерно уровня Эйнштейна в физике);

1970: Хейсуке Хиронака;

1974: Дэвид Мамфорд (David Mumford);

1978: Даниэль Квиллен (Daniel Quillen)

и Пьер Делинь (Pierre Deligne);

1986: Герд Фалтингс (Gerd Faltings);

1990: Владимир Дринфельд и Шигефуми Мори;

2004: Лоран Лаффорг (Laurent Lafforgue) и Владимир Воеводский.

Алгебраическая геометрия в современной математике играет ведущую роль. Ее проблемы стимулируют развитие и алгебры, и геометрии с топологией, и теории чисел, и многих других отраслей математического знания. Из семи «задач на миллион» три имеют непосредственное отношение к алгебраической геометрии - гипотеза Ходжа, гипотеза Берча-Суиннертон-Дайера и гипотеза Римана. Фактически алгебраическая геометрия - самый популярный и быстро развивающийся фронтир сегодняшней «чистой математики» (если не относить к чистой науке вопросы теоретической информатики).

Инварианты и гипотеза Ходжа

Центральное понятие, предопределяющее структуру подавляющего большинства исследований в алгебраической геометрии, - это понятие инварианта. Идею инвариантов понять легко. Предположим, что есть два объекта (в данном случае - два множества решений тех или иных уравнений), и нужно выяснить, равны ли они. Сделать это очень сложно, если вообще возможно, - как сравнивать? Но можно установить некоторые свойства объектов, и если эти свойства окажутся не идентичными, то и исходные объекты, очевидно, не равны. Например, проверить, совпадают ли два текста, можно, сравнив их объем. Если размер текстов отличается - в них можно и не заглядывать. В алгебраической геометрии одними из простейших инвариантов являются размерность или связность искомого множества.

Обратное, разумеется, неверно: из равенства двух инвариантов нельзя ничего заключить о равенстве исходных объектов. Но и такое частичное знание - уже хорошо. А полное счастье настанет, если все же удастся доказать обратное утверждение (иными словами, если избранный набор инвариантов будет однозначно задавать исходный объект). Гипотеза Ходжа - как раз одно из таких заманчивых утверждений. Если она окажется верной, изучение большого и сложного класса алгебраических многообразий (так называют множества, составленные из кусочков, каждый из которых является множеством решений каких-либо полиномиальных уравнений) фактически сведется к изучению гораздо более простых объектов.

Теперь о текущем статусе гипотезы. В предыдущих статьях мы говорили о гипотезе Римана и уравнении Навье-Стокса. В гипотезу Римана верят все математики. В единственность решения уравнений Навье-Стокса - тоже (по крайней мере, при достаточных для практических применений условиях). Гипотеза Ходжа выбивается из этого ряда. Долгое время верили, что она верна - но доказать это никак не удавалось. В последние годы многие математики предположили, что доказательство не удается найти просто потому, что гипотеза неверна - но контрпримеров пока построить тоже не удалось. Никаких численных экспериментов в этой задаче провести невозможно. Утверждение гипотезы доказано для ряда частных случаев, но на то они и частные. Если же контрпример будет построен, вряд ли он будет иметь очень простой вид. В общем, гипотеза Ходжа пока что открыта со всех сторон.