Читать «Квантовая механика II» онлайн - страница 4

Первый справа коэффициент Е₀физически означает энергию, которую имел бы электрон, если бы он не мог просачиваться от одного атома к другим. (Совершенно неважно, что мы назовем , Е₀; мы неоднократно видели, что реально это не означает ничего, кроме выбора нуля энергии.) Следующий член представляет амплитуду в единицу времени того, что электрон из (n+1)-й ямки просочится в n-ю ямку, а последний член означает амплитуду просачивания из (n-1)-й ямки. Как обычно, А считается постоянным (не зависящим от t).

Для полного описания поведения любого состояния |j> надо для каждой из амплитуд С_nиметь по одному уравнению типа (11.3). Поскольку мы намерены рассмотреть кристалл с очень большим количеством атомов, то допустим, что состояний имеется бесконечно много, атомы тянутся без конца в обе стороны. (При конечном числе атомов придется специально обращать внимание на то, что случается на концах.) А если количество N наших базисных состояний бесконечно велико, то и вся система наших гамильтоновых уравнений бесконечна! Мы напишем только часть ее:

§ 2. Состояния определенной энергии

Об электроне в решетке мы теперь уже можем узнать очень многое. Для начала попробуем отыскать состояния определенной энергии. Как мы видели в предыдущих главах, это означает, что надо отыскать такой случай, когда все амплитуды меняются с одной частотой, если только они вообще меняются. Мы ищем решение в виде

Комплексное число а_nговорит нам о том, какова не зависящая от времени часть амплитуды того, что электроны будут обнаружены возле n-го атома. Если это пробное решение подставить для проверки в уравнения (11.4), то получим

Перед нами бесконечное число уравнений для бесконечного количества неизвестных а_n! Ситуация тяжелая!

Но мы знаем, что надо только взять детерминант... нет, погодите! Детерминанты хороши, когда уравнений два, три или четыре. Но здесь их очень много, даже бесконечно много, и вряд ли от детерминантов будет толк. Нет, лучше попробовать решать эти уравнения прямо. Во-первых, пронумеруем положения атомов; будем считать, что n-йатом находится в х_n, а (n+1)-й— в х_n+1. Если расстояние между атомами равно b (как на фиг. 11.1), то х_n+1=х_n+b. Взяв начало координат в атоме номер нуль, можно даже получить х_n=nb. Уравнение (11.5) можно тогда переписать в виде

а уравнение (11.6) превратится в

Пользуясь тем, что x_n+1=x_n+b, это выражение можно также записать в виде

Это уравнение немного походит на дифференциальное. Оно говорит, что величина а(х) в точке х_nсвязана с той же физической величиной в соседних точках х_n±b. (Дифференциальное уравнение связывает значения функции в точке с ее значениями в бесконечно близких точках.) Может быть, здесь подойдут методы, которыми мы обычно пользуемся для решения дифференциальных уравнений? Попробуем.

Решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами всегда могут быть выражены через экспоненты. Попробуем и здесь то же самое; в качестве пробного решения выберем

Тогда (11.9) обратится в

Сократим на общий множитель; получим