Читать «Большая Советская Энциклопедия (ФУ)» онлайн - страница 77
БСЭ БСЭ
. (9)
При некоторых условиях на f( x) справедлива формула Пуассона
,
находящая применение в теории .
Если функция f( x) достаточно быстро убывает, то её Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях u = v+ iw. Например, если существует , а> 0, то Ф. п. определено при | w| < а. Ф. п. при комплексных значениях тесно связано с двусторонним преобразованием Лапласа (см. )
.
Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [например, для функций f( x) таких, что (1 + | x|) –1 f( x) суммируема, Ф. п. определяется формулой (9)], и даже на некоторые классы (т. н. медленного роста).
Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода специальные функции, например , это направление получает завершение в теории представлений . Другим является т. н. преобразование Фурье — Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции j( x)
(10)
и называется характеристической функцией распределения j. Для представимости функции g( u) в виде (10) необходимо и достаточно, чтобы при любых u 1,..., u n, x 1,...,x n было
(теорема Бохнера — Хинчина).
Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, Ф. п. стало стандартным аппаратом , широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д.
Лит.:Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.
Фурье ряд
Фурье' ряд, , служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f( x) имеет период 2 T, то её Ф. р. имеет вид
,
где a 0, a n, b n( n³ 1) — . В зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т.д. Обычно рассматривают 2p-периодические функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).
Ф. р. представляют собой простейший класс разложений по , а именно — по тригонометрической системе 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,..., cos nx, sin nx,..., которая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (суммы Фурье)
обращают в минимум интеграл
,
где t n( x) — произвольный тригонометрический полином порядка Ј n, а функция f( x) интегрируема с квадратом. При этом