Читать «Большая Советская Энциклопедия (ПФ)» онлайн - страница 2

Пфафф Иоганн Фридрих

Пфафф(Pfaff) Иоганн Фридрих (22.12.1765, Штутгарт, — 21.4.1825, Галле), немецкий математик, член Берлинской АН (1817). Профессор математики университетов в Хельмштедте (1788—1810) и Галле (с 1810). П. принадлежат исследования по уравнениям в дифференциалах (так называемые ).

 Соч .:Allgemeine Methode partielle Differentialgleichungen zu integrieren (1815), Lpz., 1902.

  Лит.:Kowalewski G. W. H., Grosse Mathematiker. Eine Wanderung durch die Geschichte der Mathematik, B. 1938, S. 228—47.

Пфаффа уравнения

Пфа'ффа уравне'ния,уравнения вида

X ₁dx ₁+ X ₂ dx ₂+ ... + X _ndx _n= 0 ,    (1)

где X ₁, X ₂ ,..., X _n—заданные функции независимых переменных x ₁ , x ₂ ,..., x _n.Изучались И. Ф. (1814—15). Решение уравнения (1) состоит из соотношений

     (2)

таких, что уравнение (1) является следствием их и соотношений df ₁ = 0, df ₂= 0, ..., df _m= 0. Соотношения (2) определяют интегральное многообразие П. у. (1). Если через каждую точку n-мерного пространства x ₁ , x ₂ ,..., x _nпроходит ( n —1)-мерная интегральная гиперповерхность, т. е. если уравнение (1) интегрируется одним соотношением, содержащим одну произвольную постоянную, то оно называется вполне интегрируемым.

  В случае трёх независимых переменных х, у, zП. у. может быть записано в виде

Pdx+ Qdy+ Rdz= 0,     (1’)

где Р= Р( х, у, z), Q= Q( х, у, z), R= R( х, у, z). Геометрически решение уравнения (1’) означает нахождение кривых в пространстве х, у, z, ортогональных в каждой своей точке векторному полю { Р, Q, R}, т. е. таких кривых, нормальная плоскость к которым в каждой точке содержит вектор поля. Такие кривые являются интегральными кривыми уравнения (1’). Если задать одно соотношение Ф ( х, у, z) = 0 произвольно, т. е. искать интегральные кривые на произвольной гладкой поверхности, то из уравнения (1’) и соотношения

находятся, например, dy/ dxи dz/ dxкак функции х, у, z, и задача сводится к интегрированию системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решая ее, находят двупараметрическое семейство кривых, из которого выделяют однопараметрическое семейство интегральных кривых уравнения (1'), лежащих на заданной поверхности Ф ( х, у, z) = 0. Это семейство интегральных кривых может рассматриваться как пересечение заданной поверхности и однопараметрического семейства поверхностей Ф ₁( х, у, z, с) = 0, т. е. общее решение П. у. (1') состоит из двух соотношений Ф ( х, у, z) = 0 и Ф ₁( х, у, z, с) = 0, из которых первое произвольно, а второе определяется по первому. П. у. (1') интегрируется одним соотношением F( х, у, z, с) = 0, т. е. является вполне интегрируемым, если выполняется условие интегрируемости