Читать «Большая Советская Энциклопедия (ОШ)» онлайн - страница 4
БСЭ БСЭ
d 1= x 1— a,…,d n= x n— a
называются истинными ошибками. В терминах вероятностной О. т. все d i трактуются как случайные величины; независимость измерений понимается как взаимная независимость случайных величин d 1 ,..., d n . Равноточность измерений в широком смысле истолковывается как одинаковая распределённость: истинные ошибки равноточных измерений суть одинаково распределённые случайные величины. При этом математическое ожидание случайных ошибок b= Ed 1 =.. .=Еd n называется систематической ошибкой, а разности d 1 — b,...,d n — b —случайными ошибками. Таким образом, отсутствие систематической ошибки означает, что b =0 ,и в этой ситуации d 1 ,..., d n суть случайные ошибки. Величину , где а — , называют мерой точности (при наличии систематической ошибки мера точности выражается отношением . Равноточность измерений в узком смысле понимается как одинаковость меры точности всех результатов измерений. Наличие грубых ошибок означает нарушение равноточности (как в широком, так и в узком смысле) для некоторых отдельных измерений. В качестве оценки неизвестной величины аобычно берут арифметическое среднее из результатов измерений
,
а разности D 1= x 1— ,..., D n= x n— называются кажущимися ошибками. Выбор в качестве оценки для аоснован на том, что при достаточно большом числе nравноточных измерений, лишённых систематической ошибки, оценка с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от неизвестной величины а(см. ); оценка лишена систематической ошибки (оценки с таким свойством называются несмещенными); дисперсия оценки есть
D =E ( — а) 2 = s 2/n.
Опыт показывает, что практически очень часто случайные ошибки d i подчиняются распределениям, близким к нормальному (причины этого вскрыты так называемыми теории вероятностей). В этом случае величина имеет мало отличающееся от нормального распределение, с математическим ожиданием аи дисперсией s 2 /n.Если распределения d i в точности нормальны, то дисперсия всякой другой несмещенной оценки для а,например , не меньше D .Если же распределение d i отлично от нормального, то последнее свойство может не иметь места.
Если дисперсия s 2 отдельных измерений заранее известна, то для её оценки пользуются величиной
(E s 2= s 2,т. е. s 2—несмещенная оценка для s 2 ), если случайные ошибки d i имеют нормальное распределение, то отношение
подчиняется с n —1 степенями свободы. Этим можно воспользоваться для оценки погрешности приближённого равенства а » (см. ).
Величина ( n — 1) s 2/s 2 при тех же предположениях имеет распределение c 2(см. распределение) с n —1 степенями свободы. Это позволяет оценить погрешность приближённого равенства s » s.Можно показать, что относительная погрешность | s — s| Isне будет превышать числа qс вероятностью
