Читать «Математика для взрослых» онлайн - страница 47

364/365 × 363/365 = 99,18%

Входит Агнесс. Вероятность, что ее день рождения не совпадает с другими, равна 362/365, а вероятность, что все четверо родились в разные дни, составит:

364/365 × 363/365 × 362/365 = 98,37%

Постепенно комната заполняется, и мы перемножаем все больше и больше дробей, вычисляя вероятность несовпадения дат дней рождений. Когда в комнату заходит двадцать третий человек, происходит нечто странное. И наше уравнение приобретает следующий вид:

364/365 × 363/365 × 362/36 x… и так далее… × 345/365 × 344/365 × 343/365 = 49,27%

То есть шансов, что все родились в разные дни, теперь меньше 50%, а значит, вероятность совпадения дней рождения у двух человек уже немного превышает 50%. Выходит, такое совпадение скорее имеет место быть, чем не имеет!

К тому моменту, как в комнате соберется 30 человек, вероятность, что дни рождения у всех разные, снизится примерно до 30%, а вероятность, что двое из присутствующих родились в один день, составит около 70%. Если вам сложно в это поверить, в следующий раз, когда рядом окажутся 30 человек, поинтересуйтесь, когда они родились. Да, это удивительно, но факт.

Карты и покерные комбинации

Предположим, у вас есть обычная колода из 52 игральных карт и вы хотите знать, какова вероятность выпадения той или иной карточной комбинации. Некоторые из этих вероятностей довольно легко просчитать.

Каковы шансы, что вверху колоды будут две совпадающие по номиналу карты

Если перетасовать колоду и снять верхнюю карту, она может оказаться любой, например четверкой треф. В колоде есть еще три совпадающие с ней по номиналу карты: четверка червей, четверка пик и четверка бубей. Всего остается 51 карта, следовательно, вероятность, что следующая карта совпадает с уже открытой, составит 3/51. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3, получаем 1/17.

Иначе говоря, если многократно перетасовывать колоду и открывать две верхние карты, две совпадающие карты в среднем будут выпадать один раз из 17.

Каковы шансы, что вам сдадут пять карт одной масти

Если вы играете в покер, это, к вашей великой радости, будет флеш. Но насколько это вероятно?

Первое, что нужно понимать: не имеет значения, берете ли вы пять карт сверху перетассованной колоды или сидите за одним столом с другими игроками и получаете карты по одной во время раздачи. Так что представим, что вы просто взяли из колоды пять верхних карт.

Верхняя карта может быть любой. Очевидно, что по масти она совпадает с собой же, то есть вероятность совпадения равна 1 (или 100%). Положим, это семерка бубей. Из оставшейся 51 карты 12 имеют ту же масть, стало быть, шанс, что и следующая карта совпадет по масти, составит 12/51.

Для третьей карты вероятность совпадения равна 11/50, поскольку среди 50 оставшихся карт 11 нужной масти, для четвертой карты — 10/49, а для пятой — 9/48. Чтобы вычислить вероятность совпадения масти для всех пяти карт, перемножим все эти вероятности.

Округлим последнюю некрасивую дробь: число 11 880 близко к 12 000, а 5 997 600 к 6 000 000. Это даст нам