Читать «Большая Советская Энциклопедия (СФ)» онлайн - страница 13
БСЭ БСЭ
Лит. см. при ст. .
Рис. к ст. Сферическая тригонометрия.
Сферические координаты
Сфери'ческие координа'ты точки М, три числа r, q, j, которые определяются следующим образом. Через фиксированную точку О (рис.) проводятся три взаимно оси Ox, Оу, Oz. Число r равно расстоянию от точки О до точки М, q представляет собой угол между вектором и положительным направлением оси Oz, j — угол, на который надо повернуть против часовой стрелки положительную полуось Ox до совпадения с вектором (N — проекция точки М на плоскость хОу). С. к. точки М зависят, таким образом, от выбора точки О и трёх осей Ox, Оу, Oz. Связь С. к. с прямоугольными декартовыми устанавливается следующими формулами:
, , .
С. к. имеют большое применение в математике и её приложениях к физике и технике.
Рис. к ст. Сферические координаты.
Сферические функции
Сфери'ческие фу'нкции, специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферической симметрией. С. ф. являются решениями дифференциального уравнения
,
получающегося при разделении переменных в в сферических координатах r, q, j. Общий вид решения:
,
где am — постоянные, — присоединённые функции Лежандра степени l и порядка m, определяемые равенством:
,
где Рп — .
С. ф. можно рассматривать как функции на поверхности единичной сферы. Функции
образуют полную ортонормированную систему на сфере, играющую ту же роль в разложении функций на сфере, что тригонометрическая система функций {e imj} на окружности. Функции на сфере, не зависящие от координаты j, разлагаются по зональным С. ф.:
С. ф. степени l
при вращении сферы линейно преобразуется по формуле:
(1)
(q–1M — точка, в которую переходит точка М сферы при вращении q–1). Коэффициенты являются матричными элементами неприводимого унитарного представления веса l группы вращения сферы. Их называют также обобщёнными С. ф. Обобщённые С. ф. применяются при разложении векторных и тензорных полей на единичной сфере, решении некоторых задач теории упругости и т. д.
С формулой (1) связана теорема сложения для зональных С. ф.:
,
где cos g = cos q cos q‘ + sinq sinq' cos (j —j’), g — сферическое расстояние точки (q, j) от точки (q', j’).
Характерным примером многочисленных приложений С. ф. к вопросам математической физики и механики является применение их в теории потенциала. Пусть — поверхностная плотность распределения массы по сфере радиуса R с центром в начале координат; если а можно разложить в ряд С. ф. , сходящийся равномерно на поверхности сферы, то потенциал, соответствующий этому распределению масс, в каждой точке (r, q, j), внешней относительно данной сферы, равен
