Читать «Большая Советская Энциклопедия (ПО)» онлайн - страница 29

Поверхностный интеграл

Пове'рхностный интегра'л , интеграл от функции, заданной на какой-либо поверхности. К П. и. приводит, например, задача вычисления массы, распределённой по поверхности S с переменной поверхностной плотностью f (M ). Для этого разбивают поверхность на части s₁ , s₂ ,..., s_n и выбирают в каждой из них по точке M_i . Если эти части достаточно малы, то их массы приближённо равны f (M_i ) s_i , а масса всей поверхности будет равна . Это значение тем ближе к точному, чем меньше части s_i . Поэтому точное значение массы поверхности есть

,

где предел берётся при условии, что размеры всех частей s_i (и их площади) стремятся к нулю. К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики. Эти пределы называют П. и. первого рода от функции f (M ) по поверхности S и обозначают

.

  Их вычисление приводится к вычислению двойных интегралов (см. ).

  В некоторых задачах физики, например при определении потока жидкости через поверхность S, встречаются пределы аналогичных сумм с той лишь разницей, что вместо площадей самих частей стоят площади их проекций на три координатные плоскости. При этом поверхность S предполагается ориентированной (т. е. указано, какое из направлений нормалей считается положительным) и площадь проекции берётся со знаком + или — в зависимости от того, является ли угол между положительным направлением нормали и осью, перпендикулярной плоскости проекций, острым или тупым. Пределы сумм такого вида называют П. и. второго рода (или П. и. по проекциям) и обозначают

.

  В отличие от П. и. первого рода, знак П. и. второго рода зависит от ориентации поверхности S.

  М. В. установил важную формулу, связывающую П. и. второго рода по замкнутой поверхности S с тройным интегралом по ограниченному ею объёму V (см. ). Из этой формулы следует, что если функции Р, Q, R имеют непрерывные частные производные и в объёме V выполняется тождество

,

то П. и. второго рода по всем поверхностям, содержащимся в V и имеющим один и тот же контур, равны между собой. В этом случае можно найти такие функции P₁ , Q₁ , R₁ , что

, , .

  выражает криволинейный интеграл по замкнутому контуру через П. и. второго рода по ограниченной этим контуром поверхности.

  Лит.: Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 2, М., 1973: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 2, М., 1973; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973.

Поверхностный слой

Пове'рхностный слой, тонкий слой вещества близ поверхности соприкосновения двух фаз (тел, сред), отличающийся по свойствам от веществ в объёме фаз. Особые свойства П. с. обусловлены сосредоточенным в нём избытком свободной энергии (см. , ), а также особенностями его строения и состава. П. с. на границе конденсированных фаз часто называют межфазным слоем. Толщина П. с. зависит от разности плотностей фаз, интенсивности и типа межмолекулярных взаимодействий в граничной зоне, температуры, давления, химических потенциалов и др. термодинамических параметров системы. В одних случаях она не превышает толщины мономолекулярного слоя, в других — достигает десятков и сотен молекулярных размеров. Так, П. с. жидкостей вблизи критических температур смешения могут иметь толщину 1000  (100 нм ) и более. П. с., образованный молекулами (или ионами) адсорбированного вещества, называется адсорбционным слоем. Особенно резко изменяются состав и свойства П. с. при адсорбции поверхностно-активных веществ. Адсорбционное, хемосорбционное и химическое воздействия на П. с. твёрдого тела могут вызвать его лиофилизацию или лиофобизацию (см. ), привести к понижению его прочности (см. ) или, наоборот, повысить механические характеристики. Состояние П. с. различных конструкционных, радиотехнических и др. материалов сильно отражается на их эксплуатационно-технических и технологических характеристиках. Со свойствами П. с. связаны многообразные в окружающем нас мире.