Читать «Большая Советская Энциклопедия (ОБ)» онлайн - страница 146

  F ^-1[f (x)]=f [f  ^-1) x)]=x.

  Вообще же f ^--1[f (x)] представляет собой многозначную функцию от х, одним из значений которой является х; так, для f (x) = x², х (¹ 0) является лишь одним из двух значений f ^--1[f (x)] = √x² (другое: —х); для f (x) = sin х, х является лишь одним из бесконечного множества значений

f^{- -1}[f (x)] = Arc sin [sin x] = (—1) ⁿ x + np,

n = 0, ± 1, ± 2,....

  Если у = f (x) непрерывна и монотонна в окрестности точки х = x₀ и дифференцируема при х = x₀, причём f'(x₀) ¹ 0, то f ^--1(y) дифференцируема при у = у₀ и

(формула дифференцирования О. ф.). Так, для —p/2 < х < p/2, у = f (x) = sin х непрерывна и монотонна, f’(x) = cos х &sup1; 0 и f^{- -1}(y)= arc sin у (—1< y <1) дифференцируема, причём

где имеется в виду положительное значение корня (так как cos х > 0 для —p/2 <  х <  p/2).

Обратно пропорциональные величины

Обра'тно пропорциона'льные величи'ны, две величины, связанные между собой так, что с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. О. п. в. х и у связаны соотношением ху = k (то есть х =  и у = , где k постоянно).

Обратное требование

Обра'тное тре'бование, см. .

Обратное число

Обра'тное число', число, произведение которого с данным числом равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, например, 5 и ,  и  и т.д. Для всякого числа а, не равного нулю, существует обратное .

Обратные гиперболические функции

Обра'тные гиперболи'ческие фу'нкции, функции, обратные по отношению к sh х, ch х, th х; они выражаются формулами

 (*)

  (читается: ареа-синус гиперболический, ареа-косинус гиперболический, ареа-тангенс гиперболический). Эти обозначения происходят от лат. area — площадь (гиперболические функции могут рассматриваться как функции площади гиперболического сектора). Производные О. г. ф. имеют вид

,

,

.

  Поэтому О. г. ф. часто появляются при интегрировании рациональных дробей и квадратичных иррациональностей.

  О. г. ф., рассматриваемые в комплексной области, многозначны. Их однозначные ветви (главные значения) получаются, если в формулах (*) брать для логарифма его главные значения; они обозначаются ar sh z; ar ch z, ar th z. Главные значения О. г. ф. связаны с главными значениями обратных тригонометрических функций формулами

,

,

.

Обратные тригонометрические функции

Обра'тные тригонометри'ческие фу'нкции, аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х («арксинус x») — функция, обратная sin х; 2) Arc cos x («арккосинус x») — функция, обратная cos х; 3) Arc tg x («арктангенс x») — функция, обратная tg х; 4) Arc ctg x («арккотангенс x») — функция, обратная ctg x; 5) Arc sec x («арксеканс x») — функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x («арккосеканс x») — функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, например, х = Arc sin a есть любое решение уравнения sin х = a, т.е. sin Arc sin a = a. Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для |х| £ 1, функции Arc tg х и Arc ctg х — для всех действительных х, а функции Arc sec х и Arc cosec х:—для |х| &sup3; 1; две последние функции малоупотребительны.