Читать «Большая Советская Энциклопедия (МН)» онлайн - страница 49

  Подмножества. Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В , то множество А называется подмножеством, или частью, множества В . Это записывают так: A Í В или В Ê А . Т. о., подмножеством данного множества В является и само множество В . Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества. Всякое непустое подмножество А данного множества В , отличное от всего множества В , называют правильной частью последнего.

  Мощность множеств. Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множествам, был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы дал в конце 70-х гг. 19 в. Г. , основавший М. т. как математическую науку. Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В ; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А , то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное, или одно-однозначное, соответствие [сокращённо: (1—1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1—1)-соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого факта определяют количественную эквивалентность, или равномощность, двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1—1)-соответствие.

  Ещё до создания М. т. Б. владел, с одной стороны, вполне точно формулированным понятием (1—1)-соответствия, а с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных ступеней; однако он не только не сделал (1—1)-соответствие основой установления количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого. Больцано останавливало то, что бесконечное множество может находиться в (1—1)-соответствии со своей правильной частью. Например, если каждому натуральному числу n поставить в соответствие натуральное число 2n , то получим (1—1)-соответствие между множеством всех натуральных и множеством всех чётных чисел. Вместо того чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказался от взаимной однозначности как критерия равномощности и, т. о., остался вне основной линии развития М. т. В каждом бесконечном множестве М имеется (как легко доказывается) правильная часть, равномощная всему М , тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконечного множества (Р . ).