Читать «Большая Советская Энциклопедия (МН)» онлайн - страница 44

А'х^k y^l …..w^m , B'x^k y^l …..w^m , ….., D'x^k y^l …..w^m

можно заменить одним (приведение подобных членов). Два М. называются равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих М. оказываются равными нулю. В последнем случае М. называется тождественным нулём и обозначают знаком 0. М. от одного переменного х можно всегда записать в виде

P (x ) = a ₀ xⁿ + a ₁ x^{n -1} + ... + a_{n -1} x + a_n ,

где a ₀ , a ₁ ,..., a _n — коэффициенты.

  Сумму показателей степеней какого-либо члена М. называют степенью этого члена. Если М. не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены приведены) имеются один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую степень называют степенью М. Тождественный нуль не имеет степени. М. нулевой степени сводится к одному члену А (постоянному, не равному нулю). Примеры: xyz + х + у + z есть многочлен третьей степени, 2x + у — z + 1 есть многочлен первой степени (линейный М.), 5x ² — 2x ² — 3х ² не имеет степени, т. к. это тождественный нуль. М., все члены которого одинаковой степени, называется однородным М., или ; формы первой, второй и третьей степеней называются линейными, квадратичными, кубичными, а по числу переменных (два, три) двоичными (бинарными), тройничными (тернарными) (например, x ² + y ² + z ² — ху — yz — xz есть тройничная квадратичная форма).

  Относительно коэффициентов М. предполагается, что они принадлежат определённому полю (см. алгебраическое), например полю рациональных, действительных или комплексных чисел. Выполняя над М. действия сложения, вычитания и умножения на основании переместительного, сочетательного и распределительного законов, получают снова М. Таким образом, совокупность всех М. с коэффициентами из данного поля образует кольцо (см. алгебраическое) — кольцо многочленов над данным полем; это кольцо не имеет делителей нуля, т. е. произведение М., не равных 0, не может дать 0.

  Если для двух многочленов Р (х ) и Q (x ) можно найти такой многочлен R (x ), что Р = QR , то говорят, что Р делится на Q; Q называется делителем, a R — частным. Если Р не делится на Q , то можно найти такие многочлены Р (х ) и S (x ), что Р = QR + S , причём степень S (x ) меньше степени Q (x ).

  Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель Р и Q , т. е. такой делитель Р и Q , который делится на любой общий делитель этих многочленов (см. ). М., который можно представить в виде произведения М. низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (в данном поле), в противном случае — неприводимым. Неприводимые М. играют в кольце М. роль, сходную с простыми числами в теории целых чисел. Так, например, верна теорема: если произведение PQ делится на неприводимый многочлен R , a P на R не делится, то тогда Q должно делиться на R . Каждый М. степени, большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени). Например, многочлен x ⁴ + 1, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя