Читать «В защиту науки (Бюллетень 1)» онлайн - страница 112

Большинство процессов в природе нелинейны. Но в большинстве же случаев при малой интенсивности процесса он хорошо описывается линейным приближением, как в случае пружинки и волн. Линейные уравнения, грубо говоря, все одинаковы, и мы знаем, как находить их решения. Нелинейные же уравнения все разные, и решению поддаются только в редких случаях. По-этому ученые долгое время исследовали почти исключительно линейные уравнения. В нелинейной области доступнее для изучения случай слабой нелинейности: натянутая, но еще не рвущаяся пружина, заостраяющиеся, но еще не опрокидывающиеся волны. С математической точки зрения это и значит, что к линейным уравнениям добавляются малые дополнительные члены, о которых говорит Лесков. Но они никакого отношения не имеют ни к "свободной игре второстепенных факторов", ни даже к хаосу.

Хаос возникает в физических системах, когда решение системы особо чувствительно к малым возмущениям, но при этом остается в ограниченной области. При этом система остается строго детерминистской, т. е., если абсолютно точно знать ее начальное состояние, то можно абсолютно точно предсказать ее будущее. Тонкость, однако, в том, что абсолютной точности не бывает, а ошибка в измерении (или приготовлении) начального состояния приводит к растущей со временем ошибке предсказания. Но у нехаотических систем эта ошибка растет линейно со временем, так что увеличение точности вдвое позволяет предсказать будущее на вдвое больший срок. У хаотических же систем ошибка предсказания растет со временем экспоненциально, в геометрической прогрессии. В результате, каждое увеличение начальной точности вдвое увеличивает срок предсказания всего на сколько-то времени.

Представьте, что для увеличения надежности прогноза погоды на один день надо было бы удвоить количество метеостанций (чтобы получить более подробные данные). Тогда увеличение еще на один день потребовало бы вчетверо больше станций, на десять дней — в тысячу раз, а на двадцать дней — в миллион с лишком. Ясно, что тогда прогноза на двадцать дней нам не видать, как своих ушей, хотя теоретически он возможен. Так динамический хаос разрешает противоречие между детерминизмом и невозможностью знать будущее.

Совсем нетрудно продемонстрировать, как такое поведение возникает. Представим себе лист теста 20 см в диаметре, поместим на него две черные перчинки и измерим расстояние между ними с точностью до 0,1 мм. Затем раскатаем лист вдвое, сложим пополам, снова раскатаем вдвое и сложим пополам, и так далее. (Это называется преобразование пекаря.) Сможем ли мы предсказать, какое будет расстояние между перчинками после десяти раскатываний? После первого расстояние увеличится вдвое, но и ошибка измерения увеличится вдвое. После каждого раскатывания наша начальная ошибка будет удваиваться, в то время как расстояние между перчинками никогда не превысит 20 см. Через 10 раскатываний ошибка возрастет в тысячу раз (точнее, в 1024 раза), т. е. достигнет 10 см. Это будет означать, что мы уже ничего не знаем о расстоянии между перчинками. Вполне возможно, что пример Лескова со складыванием листа бумаги восходит к преобразованию пекаря, фундаментально непонятому и до неузнаваемости перевранному.