Читать «Логико-философский трактат» онлайн - страница 35

6.21. Математическое суждение не выражает мысль.

6.211. На самом деле в реальной жизни математическое суждение никогда не применяется. Мы используем математические суждения лишь для того, чтобы выводить из суждений, к математике не относящихся, другие, которые также не принадлежат математике. (В философии вопрос «Для чего именно мы используем это слово или суждение?» снова и снова приводит к ценным прозрениям.)

6.22. Логика мира, проявленная в тавтологии логических суждений, в математике показана уравнениями.

6.23. Если два выражения комбинируются посредством знака равенства, это означает, что они взаимозаменяемы. То, что это так, должно быть видно из самих этих выражений.

Когда выражения взаимозаменяемы, это отражается в их логической форме.

6.231. Свойством утверждения является то, что его можно представить как двойное отрицание. Свойство выражения «1 + 1 + + 1 + 1» – что его можно записать как «(1 + 1) + (1 + 1)».

6.232. Фреге говорит, что два выражения имеют одинаковое значение, но разный смысл.

Существенно для уравнения то, что оно не необходимо для показа одинакового значения двух выражений, соединенных знаком равенства, ведь равнозначность уже следует из самих выражений.

6.2321. А возможность доказательства математических суждений означает лишь, что их правильность проявляется без необходимости сопоставления того, что они выражают, с фактами.

6.2322. Невозможно утверждать равнозначность двух выражений. Чтобы иметь возможность утверждать что-либо, не зная его значения, я должен знать это значение, а я не могу знать значения, не ведая, означают ли они одно и то же или различное.

6.2323. Уравнение просто характеризует точку зрения, с которой я взираю на два выражения; оно характеризует сходство их значений.

6.233. На вопрос, нужна ли интуиция для решения математических задач, следует ответить: в этом случае интуицией служит язык.

6.2331. Процесс вычисления стимулирует интуицию.

Вычисление – не эксперимент.

6.234. Математика есть метод логики.

6.2341. Существенная черта математического метода – использование уравнений. Поскольку лишь при таком методе всякое математическое суждение понимается само по себе.

6.24. Метод, которым математика оперирует уравнениями, есть метод замещения. Ведь уравнения выражают взаимозаменяемость двух выражений, и, начиная с определенного числа уравнений, мы идем к новым уравнениям, заменяя различные выражения в соответствии с уравнениями.

6.241. Доказательство суждения 2 × 2 = 4 выглядит следующим образом:

(Ω^v)^υ, x = Ω^{v × υ}, x Def.,

Ω^2×2, x = (Ω²)², x = (Ω²)^{1 + 1}, x =

= Ω², Ω², x = Ω^{1 + 1}, Ω^{1 + 1}, x = (Ω’Ω)’(Ω’Ω)’x =

= Ω’Ω’Ω’Ω’x = Ω^{1 + 1 + 1 + 1}, x = Ω⁴, x.

6.3. Изучение логики означает изучение всего, что подвластно ее законам. А вне логики все случайно.

6.31. Так называемый закон индукции не может быть законом логики, поскольку является осмысленным суждением. И невозможны априорные законы.

6.32. Закон причинности есть не закон, а форма закона.

6.321. «Закон причинности» – общее имя. И как в механике, к примеру, имеются «принципы минимума» – принцип наименьшего действия и т. д., – так и в физике имеются законы причинности, законы причинной формы.