Читать «Энциклопедический словарь юного математика» онлайн - страница 320

К элементарным функциям относятся и те функции, которые получаются из элементарных путем применения (конечного числа раз) основных четырех арифметических действий и образования сложной функции. Приведем несколько примеров элементарных функций:

, f₂(x) = cos lg x, f₃(x) = x2^x + arctg x,

, f₅ = x^{sin x} - sin tg x.

Отметим, что функция f(x) = |x| также является элементарной, поскольку |x| = √x².

Элементарные функции наиболее изучены и часто используются в приложениях математики.

Хотя понятие функции сформировалось лишь в XVII в., однако зависимости между двумя величинами рассматривались и ранее. К XVII в. почти все основные элементарные функции были достаточно хорошо изучены: к этому времени уже были составлены высокой точности таблицы значений тригонометрических функций и появились первые таблицы логарифмов. Дифференциальное исчисление дало законченное исследование основных элементарных функций, в частности было установлено, что производная от элементарной функции есть также элементарная функция.

Развитие математического анализа, решение различных прикладных задач привели к рассмотрению функций, которые не являются элементарными. Например, не выражаются через элементарные функции решения дифференциальных уравнений:

y^t = e^x /x, .

При изучении неэлементарных функций их, как правило, выражают через элементарные с помощью пределов, интегралов, бесконечных рядов и исследуют методами математического анализа.

ЭЛЛИПС

Эллипс - одно из конических сечений. Его также можно определить как фигуру, состоящую из всех тех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F₁ и F₂ (называемых фокусами эллипса) является постоянной величиной, обычно обозначаемой через 2a (рис. 1).

Рис. 1

Из этого определения нетрудно установить, что прямая, проходящая через фокусы эллипса, есть его ось симметрии, как и прямая, являющаяся серединным перпендикуляром отрезка F₁F₂. Точка O пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса, его называют просто центром эллипса. Если взять указанные прямые в качестве осей координат, то уравнение эллипса запишется в виде x²/a² + y²/b² = 1.

Из уравнения эллипса следует, что ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a,0) и (-a,0), а ось ординат - в точках (b,0) и (-b,0). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами на оси абсцисс называется большой осью, а на оси ординат - малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Зная определение эллипса, можно сделать простейший прибор, вычерчивающий эллипс. Для этого надо связать две булавки ниткой и воткнуть их в чертежную доску (рис. 2), взять карандаш и двигать его по бумаге так, чтобы грифель карандаша все время натягивал нитку. Тогда кончик грифеля будет рисовать на бумаге эллипс.

Рис. 2

А как получить эллипс с данными полуосями a и b? Оказывается, не случайно сумма расстояний от фокусов до точки на эллипсе обозначена через 2a. Эта сумма равна длине большой оси. Укрепленные на доске булавки задали расстояние между фокусами, его обычно обозначают через 2c, таким образом, c - расстояние от центра эллипса до его фокуса. Если рассмотреть теперь прямоугольный треугольник OAF₂ на рис. 1, то из него видно, что a² = b² + c². Таким образом, если известны величины полуосей эллипса, то расстояние от его центра до каждого из фокусов будет катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной большой полуоси, и вторым катетом, равным малой полуоси. Итак, все нужные величины имеются, и можно построить искомый эллипс. Этот способ часто используют садовники при разбивке клумб.