Читать «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями» онлайн - страница 5

25. Длины случайных хорд

Если хорда выбирается наудачу в заданном круге, то какова вероятность того, что ее длина больше радиуса круга?

26. Нетерпеливые дуэлянты

Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти пять минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

27. Осторожный фальшивомонетчик

(а). Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью в сто монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной в каждом из 100 ящиков. Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен?

(б). Каков ответ в предыдущей задаче, если 100 заменить на n?

28. Жадный фальшивомонетчик

Чеканщик кладет m фальшивых монет в ящик, содержащий всего n монет. Король, подозревая чеканщика, извлекает случайным образом по одной монете из каждого из n ящиков и проверяет их. Какова вероятность того, что в выборке из n монет ровно r фальшивых?

29. Заплесневевший желатин

Споры, несущиеся по воздуху, производят маленькие колонии-плесени на пластинках желатина в лаборатории. В среднем на пластинке имеется 3 колонии. Какая доля пластинок имеет ровно 3 колонии? Если среднее число колоний равно некоторому достаточно большому целому числу m, то какая доля пластинок содержит ровно m колоний?

30. Расчет булочника

Разъезжающий булочник продает в среднем 20 кексов за одну поездку. Какова вероятность того, что он продаст четное число кексов? (Предполагается, что число покупок подчиняется закону Пуассона.)

Задачи о днях рождения (31, 32, 33, 34)

31. Парные дни рождения

При каком минимальном числе людей в компании вероятность того, что хотя бы два из них родились в один и тот же день, не меньше ½?

(Годы рождения могут и не совпадать.)

32. В поисках парных дней рождения

Вы задались целью найти человека, день рождения которого совпадает с вашим. Сколько незнакомцев вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше, чем ½?

33. Соотношение между разными задачами о парных днях рождения

Пусть P_r обозначает вероятность того, что по крайней мере два человека из компании в r человек имеют один и тот же день рождения.

Каково должно быть n в индивидуальной задаче о парных днях рождения для того, чтобы вероятность успеха приблизительно равнялась бы P_r?

34. Выходные дни и дни рождения