Читать «Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.» онлайн - страница 9

Прямые, которые рассматриваются в современной геометрии, тем не менее имеют длину, считающуюся актуально бесконечной, и они тянутся непрерывно без начала и конца. Заметим, что такую линию невозможно изобразить.

Интересно, что все группы или величины, связанные с природными явлениями, никогда не являются актуально бесконечными, напротив, большинство из них конечны, и лишь очень малая часть — бесконечны, но только в потенции. Так, согласно принятым на сегодняшний день физическим теориям материя не является бесконечно делимой. Каждый атом состоит из определенного количества элементарных неделимых частиц. Возможно даже, что ни время, ни пространство не делимы бесконечно.

С другой стороны, космологи утверждают, что объем и диаметр Вселенной вполне могут быть потенциально бесконечными (диаметр Вселенной — это наибольшее расстояние, которое можно измерить, между двумя ее точками).

Число песчинок, содержащихся в шаре, равном миру, меньше тысячи единиц чисел «седьмых» [это единица с 51 нулем, огромное, но конечное число].

Архимед, «Псаммит»

Если верно, что Вселенная будет продолжать расширяться неопределенное количество времени, то и ее возраст в секундах будет потенциально бесконечен. Продолжая пример с писцами, представим, что они записывают по числу на каждую секунду, прошедшую с момента Большого взрыва. Список запротоколированных секунд постоянно возрастал бы, оставаясь при этом конечным.

Резюмируя, скажем, что время, материя и пространство были бы конечны или, максимум, бесконечны в потенции. Поэтому неудивительно, что в IV веке до н.э. Аристотель утверждал, будто актуальной бесконечности не существует.

РИС.1

БЕСКОНЕЧНОСТЬ ПО АРИСТОТЕЛЮ

Аристотель первым стал исследовать различие между «потенциальным бытием» и «актуальным». Можно сказать, что ребенок — это потенциальный взрослый, а глыба мрамора — потенциальная скульптура. Когда ребенок вырастает, он становится «актуальным» взрослым; скульптор превращает мрамор в актуальную скульптуру. «Звание потенциального мудреца равно дается и тому, кто ничего не изучает», — утверждает Аристотель в книге IX своей «Метафизики», видимо с долей иронии. В том же труде он говорит о бесконечности: 

«Беспредельное же существует в возможности не в том смысле, что оно когда-то будет существовать отдельно в действительности». 

Таким образом, бесконечность всегда существует потенциально, в возможности, но никогда не бывает актуальной. На протяжении более двух тысяч лет, точнее до середины XIX века, аристотелевское отрицание актуальной бесконечности поддерживали почти все западные ученые — и философы, и математики. Поэтому стоит задержаться по крайней мере на двух аргументах, приведенных Аристотелем для обоснования своего утверждения.

Не следует, однако, понимать бытие [бесконечного] в возможности [в том смысле], что как вот этот [материал] есть статуя в возможности, поскольку он [на деле] может стать статуей, так же может стать актуально существующим какое-нибудь бесконечное.