Читать «Неоконченный поиск. Интеллектуальная автобиография» онлайн - страница 198

214

214 Ошибка была связана с правилами подстановки или замены выражений: я ошибочно полагал, что достаточно сформулировать эти правила в терминах взаимовыводимости, в то время как на самом деле требовалось тождество (выражений). Поясню это замечание: я постулировал, например, что, если в выражении а два (несвязанных) подвыражения х и у всегда, когда они встречаются, заменять на г, то получившееся выражение (если оно является утверждением) взаимовыводимо с результатом замены сначала х повсюду, где он встречается, на у, а затем у повсюду, где он встречается, на 2. На самом деле я должен был постулировать, что первый результат тождествен второму. Я понимал, что это утверждение сильнее, но я ошибочно полагал, что более слабого правила будет достаточно. Интересное (и до сих пор неопубликованное) заключение, к которому я пришел позднее, исправляя эту ошибку, состояло в обнаружении существенного различия между пропозициональной и функциональной логикой: если пропозициональная логика может быть сконструирована как теория множества утверждений, элементы которого частично упорядочены отношениями выводимости, то функциональная логика требует, кроме этого, морфологического подхода, поскольку она оперирует с подвыражениями выражений, используя понятия типа тождества (по отношению к выражениям). Однако, помимо идей тождества и подвыражения больше ничего не требуется; никаких дальнейших описаний, в особенности касающихся формы выражений.

215

215 [1950(d)].

216

216 [1950(b) и (с)].

217

217 См. Kurt Gödel, «A Remark About the Relationship Between Relativity Theory and Idealistic Philosophy», в Albert Einstein: Philosopher-Scientist, с. 555–562 (см. примеч. 122 выше). Аргументы Геделя были (а) философскими, (b) основанными на специальной теории относительности (см. особенно его примеч. 5) и (с) основанными на новых космологических решениях уравнений поля Эйнштейна, то есть на возможности существования замкнутых четырехмерных орбит во (вращающейся) Вселенной Геделя, как было описано им в статье «Аn Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein’s Field Equations of Gravitation», Reviews of Modern Physics, 21 (1949), c. 447–450. (Результаты пункта (с) были поставлены под сомнение в статье S. Chandrasekhar and James P. Wright «The Geodesics in Godel’s Universe», Proceedings of the National Academy of Sciences, 47 [1961], c. 341–347. Обратите внимание однако, что, даже если замкнутые орбиты Геделя не соответствуют геодезии, это само по себе не будет опровержением его взглядов; поскольку никогда не подразумевалось, что орбиты Геделя являются полностью баллистическими или гравитационными: даже орбита ракеты, пущенной на Луну, лишь частично является таковой.)

218

218 См. Schlipp, ed., Albert Einstein: Philosopher-Scientist, с. 688 (см. примеч. 122 выше). Я не только согласен с Эйнштейном, но пошел бы еще дальше и сказал следующее. Если бы существование (в физическом смысле) орбит Геделя было следствием теории Эйнштейна (что не так), то это можно было бы считать свидетельством против этой теории. Конечно, это не было бы окончательным аргументом: таких вещей не существует; и нам, возможно, пришлось бы принять орбиты Геделя. Я думаю, однако, что в этом случае мы должны были бы искать ей какую-нибудь альтернативу.