Читать «Неоконченный поиск. Интеллектуальная автобиография» онлайн - страница 17

Но существуют и два различия. Например, для логического содержания справедлив закон транзитивности: если b является элементом содержания a, a с — элементом содержания b, то с также является элементом содержания а. Несмотря на то, что, конечно же, существует соответствующее правило и для информационного содержания, оно состоит не в простом законе транзитивности, вроде приведенного.

Более того, содержание любого (не-тавтологичного) утверждения — скажем, теории t — бесконечно. Представим себе бесконечный список утверждений а, b, с…, которые попарно противоречивы, но из которых по отдельности не следует t. (Для большинства t адекватным для а будет «число планет равно 0», для b «число планет равно 1» и т. д.). Тогда утверждение «t или а, или и t и а» будет логически выводимо из t; то же самое верно относительно b и любого другого утверждения из списка. Из наших допущений относительно a, b, с… можно легко показать, что ни одна из пар в последовательности «t или а, или u t и a», «t или b, или и tub» не является взаимовыводимой; то есть ни одно из этих утверждений логически не следует из другого. Таким образом, логическое содержание t должно быть бесконечным.

Этот элементарный результат, касающийся логического содержания любой нетавтологичной теории, конечно же, хорошо известен. Аргументация здесь тривиальна, поскольку она основана на тривиальной операции с логическим (нестрогим) «или». Поэтому может возникнуть вопрос, не является ли бесконечность содержания вообще тривиальной проблемой, базирующейся просто на утверждениях типа «t или а, или и t и а», которые появляются в результате тривиального метода ослабления t. Однако в контексте информационного содержания становится ясным, что вопрос не настолько тривиален, как кажется.

Пусть рассматриваемой нами теорией будет теория гравитации Ньютона, назовем ее N. Тогда любое утверждение или любая теория, несовместимые с N, будут принадлежать информационному содержанию N. Назовем теорию гравитации Эйнштейна Е. Поскольку эти две теории несовместимы, каждая принадлежит информационному содержанию другой; каждая из них исключает, или не допускает, или запрещает другую.

Это показывает очень интуитивным образом, что информационное содержание теории t бесконечно в далеко не тривиальном смысле: любая теория, несовместимая с t, а потому и любая будущая теория, которая однажды превзойдет t (скажем, после того, как некий решающий эксперимент выскажется не в пользу t), очевидно принадлежит информационному содержанию t. Но не менее очевидно и то, что мы не можем знать или конструировать эти теории заранее: Ньютон не мог предвидеть Эйнштейна и его последователей.