Читать «Золотой билет. P, NP и границы возможного» онлайн - страница 73

Ошибку Кардано в том или ином виде регулярно повторяют современные авторы, которым кажется, что они доказали неравенство P и NP. Давайте снова обратимся к задаче о клике. Любой алгоритм, утверждающий, что клику заданного размера найти невозможно, должен доказать, что ее действительно нет. Единственный способ в этом удостовериться – перебрать все возможные группы и проверить, не образуют ли они клику. Поскольку потенциальных вариантов слишком много, алгоритм не справится с проверкой за разумное время. Отсюда вытекает, что эффективных алгоритмов для задачи о клике не существует. Следовательно, P ≠ NP, ч. т. д. (что и требовалось доказать). Этим выражением (или аббревиатурой Q.E.D. – от латинского quod erat demonstrandum) математики часто завершают свои выкладки, подчеркивая тот факт, что доказательство окончено.

Рассуждения такого рода могут варьироваться, однако их общая логическая ошибка заключается в словах «единственный способ». Вы не можете предсказать, как будет работать тот или иной алгоритм; он вовсе не обязан делать то, что считаете нужным вы, и в частности – работать лишь с исходной проблемой. К примеру, можно преобразовать схему дружеских связей в какое-нибудь заковыристое алгебраическое уравнение, которое будет иметь решение в том и только в том случае, когда клика данного размера существует. Конечно, это очень маловероятно, однако нельзя исключать такую возможность лишь по той причине, что вы в нее не верите.

Спорить с приверженцами подобных «методов» доказательства бывает порой довольно сложно. Они постоянно возвращаются к отправному моменту и требуют, чтобы я привел пример алгоритма для клики, который бы не использовал «единственно возможный способ». Разумеется, я такого алгоритма не знаю; если бы его придумали, это означало бы равенство P и NP, что на самом деле очень маловероятно. В данном случае бремя доказательства лежит на вас – и это сказано не ради красного словца! Именно вы, т. е. человек, утверждающий, что он (или она, хотя ошибочные доказательства предоставляют в основном мужчины) решил проблему, должны доказать, что других возможных способов в природе не существует.

Для доказательства равенства P и NP достаточно «всего лишь» показать, что для некоторой NP-полной задачи существует эффективный алгоритм. И вот некоторые изобретают алгоритм для задачи о клике или какой-нибудь другой эквивалентной ей проблемы и заявляют, что доказали равенство P = NP. Но ведь сам по себе алгоритм еще не является доказательством! Требуется строгое математическое обоснование того факта, что данный алгоритм дает верное решение во всех возможных случаях (если мы говорим о клике – то для всех возможных схем дружеских связей), причем делает это за полиномиальное время. В подобных работах доказательство корректности алгоритма либо отсутствует вообще, либо является неполным и неверным; сами же алгоритмы, сталкиваясь с нетривиальными случаями, обычно выдают ошибочное решение или работают неприемлемо долго.