Читать «Бумажный зверинец» онлайн - страница 18

На следующий день Джек и Бетти собрали все книги и отвезли их на свалку.

— Ты все равно не можешь читать эти книги, — сказала Бетти, пытаясь утешить Дэвида. — Я сама в них ничего не понимаю. Нам нужно двигаться по жизни дальше.

* * *

— Вы можете подумать, — сказала мисс By, — вспомнив то, что мы изучали в прошлый раз, будто все бесконечности есть алеф‑ноль, но это не так. Счетно бесконечное есть лишь самое маленькое из бесконечно больших величин.

Например, набор всех вещественных чисел несчетно бесконечен. Он намного больше. Кантор нашел способ это доказать.

Предположим, что вещественные числа счетно бесконечны. В таком случае должна существовать биекция (то есть взаимно однозначное отображение одного множества в другое) от натуральных чисел к вещественным. Вещественные числа должны быть такими, что их можно подсчитывать. Поскольку каждое вещественное число может быть записано как бесконечная последовательность десятичных знаков — а если она не бесконечная, то достаточно добавлять к концу числа сколько угодно нолей, — то можно представить, что их перечень будет выглядеть примерно так:

Запомните, предполагается, что это будет перечень всех вещественных чисел. Но мы легко создадим новое вещественное число, которое не может быть в этом списке. Просто возьмите первую цифру первого числа в списке и замените его другим. Потом возьмите вторую цифру второго числа в списке и замените его другим. Продолжайте это диагональное движение вниз по списку.

Когда вы соедините эти новые цифры, вы получите новое вещественное число. Но это вещественное число, которое не существует нигде в списке. Оно отличается от первого числа в списке первой цифрой, от второго числа в списке второй цифрой, от третьего числа в списке третьей цифрой и так далее.

Можно создать бесконечно много таких вещественных чисел, которые нельзя найти в перечне, всего лишь проводя новые диагонали и заменяя цифры. Биекции от натуральных чисел к вещественным не будет. Как бы вы ни пытались расставлять вещественные числа, все больше и больше их станет проскальзывать у вас меж пальцев. Вещественные числа бесконечны, но это намного более крупная разновидность бесконечности, чем алеф‑ноль. Вещественных чисел настолько больше, чем натуральных, что их невозможно сосчитать. Мы называем кардинальность этой несчетной бесконечности бет‑один.

Но даже бет‑один — все еще лишь очень малое трансфинитное число. Есть много других чисел, которые намного больше — настоящая бесконечность бесконечностей. Мы поговорим о них через несколько дней.

Когда Кантор впервые написал об их существовании, некоторые теологи сочли его работу серьезной угрозой. Они решили, что Кантор бросает вызов абсолютной бесконечности и трансцендентности бога.

Но даже просто знание того, что бет‑один больше, чем алеф‑ноль, позволяет увидеть некоторые замечательные вещи. Например, мы знаем, что рациональные числа исчислимы и имеют кардинальность алеф‑ноль. Но вещественные числа представляют собой объединение набора рациональных чисел и набора — иррациональных чисел, и мы знаем, что вещественные числа имеют кардинальность бет‑один.