Читать «Бумажный зверинец» онлайн - страница 13
Кен Лю
«Клуб математиков» был секретом Дэвида. Приходя сюда, он рисковал. Вступая в любой клуб, ты раскрываешь что‑то о себе, делаешь себя уязвимым, если твоя задача — раствориться, не оставлять следов. Он мог представить, как стал бы насмехаться Джек, если бы узнал.
«Решил, что ты умный, да? — Он представил злобный взгляд Джека, его желтые зубы и запах перегара изо рта. — Совсем как твой папаша. Только посмотри, куда довел его умишко, когда он не сумел удержать член в штанах».
— Он задумался о размере бесконечности, — продолжила мисс By. — Человеку трудно представить бесконечность, но Кантор дал нам возможность быстро взглянуть на нее и удержать в сознании, пусть даже на секунду.
Как по‑вашему, что больше: бесконечный набор всех положительных рациональных чисел или бесконечный набор всех натуральных чисел?
Вполне естественной кажется мысль, что положительных рациональных чисел гораздо больше, чем натуральных. В конце концов, только между нулем и единицей имеется бесконечное количество рациональных чисел. И между каждой последовательной парой натуральных тоже бесконечно много интервалов. Бесконечность, умноженная на бесконечность, должна быть больше, чем просто бесконечность.
Великим озарением Кантора стало то, что всё не так. Есть способ отобразить каждое натуральное число относительно положительного рационального числа таким образом, что будет видно — оба набора одинакового размера.
Положительное рациональное число имеет форму
Но Кантор приводит еще более странный аргумент. Используя тот же метод, можно показать, что в интервале от 0 до 1 существует столько же рациональных чисел, сколько и всех рациональных чисел.
Просто немного изменив путь, чтобы всегда оставаться ниже линии
Алеф‑ноль заводит нашу интуицию в тупик. На графике вверху видно, что все рациональные числа между 0 и 1 занимают половину плоскости всех рациональных чисел, а остальные рациональные числа находятся на второй половине, и при этом одна половина не больше другой или всей плоскости. Разделите бесконечность пополам, и у вас все равно останется бесконечность. Превратите числовую прямую в плоскость, умножьте бесконечность на бесконечность, и все равно у вас получится бесконечность одного и того же размера.