Читать «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых» онлайн - страница 7
Антонио Дуран
Согласно Лейбницу, бесконечно малая ширина обозначается
Смысл этой суммы так и не смогли объяснить ни Ньютон, ни Лейбниц, создатели анализа бесконечно малых. По сути, первое точное определение интеграла было дано почти полтора столетия спустя усилиями Коши. В нем также используется понятие предела (более подробно об этом рассказывается в главе 6).
Вычисление площадей криволинейных поверхностей — очень сложная задача, в чем на собственном опыте убедились предшественники Ньютона и Лейбница. В некотором смысле эта задача аналогична задаче о вычислении интеграла. Вычисление интегралов во многих случаях (но не всегда) упрощает основная теорема анализа.
Основная теорема анализа
Анализ бесконечно малых — своеобразный мост между производными и интегралами: основная теорема анализа гласит, что интегрирование и вычисление производной являются взаимно обратными операциями. Точнее говоря, если мы хотим вычислить интеграл
то, согласно основной теореме анализа, достаточно найти функцию
F’(t) = f(t)
для любого t в интервале между
Функция f должна обладать еще одним свойством — непрерывностью, на котором мы не будем останавливаться подробно.
Рассмотрим на примере, как основная теорема анализа упрощает вычисление интеграла
Этот интеграл в зависимости от его интерпретации можно использовать для расчета площади, ограниченной параболой; площади, ограниченной спиралью Архимеда; а также пути, пройденного телом, которое движется со скоростью
Согласно основной теореме анализа, достаточно найти функцию, производной которой будет функция
f(t) = tn.
Тогда
f’(t) = tn-1.
Отсюда нетрудно вывести, что производная функции t3/3 в точности равна
Как мы уже упоминали выше, путь, пройденный за 4 секунды телом, которое в течение
Следовательно, достаточно подставить в предыдущую формулу
Рассмотрим спираль Архимеда — кривую, получаемую равномерным движением точки вдоль луча, который, в свою очередь, равномерно вращается вокруг своего начала. Будем считать, что точка движется вдоль луча со скоростью 1м/с, скорость вращения луча постоянна. Чтобы найти площадь, ограниченную первым витком спирали Архимеда, нужно вычислить интеграл