Читать «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых» онлайн - страница 4
Антонио Дуран
Производная функции f в точке
t — s(t) — v(t)
0,8 — 0,8944… — 0,64
0,9 — 0,9486… — 0,81
1 — 1 — 1
1,1 — 1,0488… — 1,21
1,2 — 1,0954… — 1,44
Заметьте, что функция
Чтобы измерить эти изменения, то есть чтобы определить производную, выберем произвольное число
(f(a+h) — f(a))/h
Продолжим рассматривать функции
Наибольшее значение этой дроби для функции
(f(a+h)-f(a))/ h
при
Однако это лишь кажущаяся неопределенность, поскольку, как показано в предыдущей таблице, для наших функций
(s(l+h)-s(l))/h и (v(1+h) –v(1))/h
определены и равны соответственно 0,5 для функции
Деление ноля на ноль, возникающее при определении производной, представляло трудность для ученых XVII века и их предшественников всякий раз, когда они пытались рассчитать, например, угол наклона касательной к кривой или мгновенную скорость движения тела, зная пройденный им путь.
Бесконечность, основа анализа бесконечно малых, скрывается именно в этой операции деления ноля на ноль. Как мы только что сказали, нас интересует значение дроби
(f(a+h)-f(a))/ h
при
Анализ бесконечно малых, созданный Ньютоном и Лейбницем и усовершенствованный Леонардом Эйлером (1707—1783) и другими математиками XVIII века, можно назвать искусством манипулирования бесконечно малыми величинами. Как рассказывается в следующих главах, парадоксально, но ни один из этих гениальных математиков не определил сколько-нибудь точно понятие бесконечно малой величины, которое легло в основу математического анализа.