Читать «Истина в пределе. Анализ бесконечно малых» онлайн - страница 10

Архимед применял метод исчерпывания для решения многих задач. Мы уделим внимание одной из них, посвященной расчету площади спирали. Ученый рассматривал спираль, определение которой мы приводили в главе 1: эта спираль получается равномерным движением точки вдоль луча, который, в свою очередь, равномерно вращается вокруг своего начала. Архимед показал, что площадь первого витка спирали равна трети площади круга, радиус которого равен длине пути, пройденного точкой вдоль прямой во время первого витка. Чтобы доказать это, он построил фигуру несколько меньшей площади, состоявшую из п круговых секторов, полученных делением окружности на п равных частей, и другую фигуру большей площади, также состоявшую из n круговых секторов, в которую была вписана спираль, как показано на рисунке:

Эти приближенные вычисления аналогичны тем, что используются сегодня при расчете площадей кривых в полярных координатах с помощью интегралов, и абсолютно эквивалентны разбиению площади под графиком кривой на прямоугольники при определении на заданном интервале определенного интеграла функции.

Именно по этой причине Архимед считается одним из авторов первых, примитивных аналогов интегрального исчисления.

Однако существует и другая причина, по которой Архимед удостоился этого почетного звания. К сожалению, эта причина никак не повлияла на математиков последующих эпох. Речь идет об утерянном трактате Архимеда «Метод».

Эвристические рассуждения Архимеда, приводимые в этой книге, также предшествовали созданию интегрального исчисления. Похожие идеи появились в математике лишь спустя две тысячи лет после Архимеда, в XVII веке. Идея Архимеда противоречила аристотелеву отрицанию актуальной бесконечности.

Его революционная гипотеза состояла в том, что площадь рассматривалась как совокупность отрезков, а объем — как совокупность площадей. Так, прямоугольник представлялся как совокупность отрезков, параллельных его стороне, а цилиндр — как совокупность кругов, параллельных его основанию. Эти совокупности обязательно должны были быть бесконечными — здесь и появляется актуальная бесконечность, которую отрицал Аристотель.

ПАЛИМПСЕСТ АРХИМЕДА

В 1906 году датский эрудит Йохан Людвиг Гейберг обнаружил в Константинополе палимпсест — древнюю рукопись, где сохранились следы более ранней рукописи с трудами Архимеда. Поверх этого математического трактата был написан молитвенник для воскресных служб и других христианских праздников. Среди найденных работ была и ранее неизвестная — «Метод». Судя по особенностям почерка, рукопись относится примерно к 975 году н. э., а религиозные тексты, написанные поверх нее, датируются примерно 1229 годом.