Читать «Мир математики. т.2. Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография» онлайн - страница 64
Жуан Гомес
pa + qb = k.
В частности, если НОД (a, b) = 1, это соотношение гарантирует существование целых чисел р и q, таких что
pa + qb = 1.
Работая по модулю n, возьмем НОД (а, n) = 1, тогда обязательно существуют целые числа р и q, такие что pa + qn = 1. Так как
Элементы, имеющие обратный элемент по модулю n, являются натуральными числами, которые меньше, чем n, и удовлетворяют условию НОД (а, n) = 1. Количество таких чисел называется функцией Эйлера и обозначается как ф(n).
Если число
Например, если n = 1600 = 26∙52, то
Более того, в случае, если n — простое число, то для любого значения а выполняется НОД (а, n) = 1, и, следовательно, любое число а будет иметь обратное по модулю n, значит ф(n) = n — 1.
Итак, подведем итог самым важным фактам.
1. ф(n) называется функцией Эйлера и обозначает количество натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с ним.
2. Если n = рq, где р и q простые числа, то
a(n) = (p — 1)(q — 1).
3. Из малой теоремы Ферма мы знаем, что если а — целое число, большее нуля, и р — простое число, то а р
4. Если НОД (а, n) = 1, тогда имеем аф(n)
Почему работает RSA-алгоритм?
Математические факты, изложенные выше, лежат в основе алгоритма шифрования RSA.
RSA-алгоритм зашифровывает численное представление m некоторого сообщения с помощью двух простых чисел р и q. Возьмем n = pq. Обозначим за е любое значение, такое что НОД (е, ф(n)) = 1, и пусть d будет обратный элемент числа е по модулю ф(n). [Мы знаем, что он существует, так как НОД (е, ф(n)) = 1]. Тогда:
d∙е = 1 по модулю ф(n).
Зашифрованное послание М шифруется следующим образом: М = mе (mod n).
Алгоритм подразумевает, что исходное сообщение
Рассмотрим два случая.
1. Если (m, n) = 1, то с функцией Эйлера имеем: mф(n) 1 (mod n).
Начнем с того, что d∙е = 1 по модулю
(me)d = med = m kф(n)+1= m kф(n)∙m = (m ф(n))k∙m
Это и есть нужный нам результат.
2. Если НОД (m,n)
Пусть m содержит только множитель р. Тогда, во-первых, m кратно р, то есть существует целое число r, такое, что m = rр. Поэтому mde
mde — m = Ар. (1)
Во-вторых, мы имеем:
(me)d = med = mk ф(n)+1 = m k ф(n)∙m = (mф(n))k∙m = (m(q-1))k(p-1)∙m.
Так как НОД (m, n) = р, НОД (m, q) = 1, то по теореме Ферма m(q-1)