Читать «Черная маска из Аль-Джебры» онлайн - страница 57

Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С нее легко соскочила Мнимая Единица с зеленым зонтиком. Вместо нее на круг, точно против таблички +i, стала Мнимая Единица с желтым зонтиком.

Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:

— К возведению в степень приготовиться!

Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные вещи!

Мнимая Единица с желтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички -1 и превратилась в действительное число — Отрицательную Единицу.

Возле таблички снова стала Мнимой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой +1 и — невероятно! — опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да еще положительную. А потом как ни в чем не бывало возвратилась к табличке i. Тут она снова стала Мнимой.

Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и все началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица все превращалась и превращалась.

— Не понимаю, — сказал Сева. — Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная — опять в Мнимую… Как это?

— На то и возведение в степень! — отозвалась Мнимая Единичка. — Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы: i = √-1. Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?

— Подкоренное число, — ответил Олег.

— Так это же мы недавно видели! — вспомнил Сева. — Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трех, то корень квадратный из двух… И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.

— То же самое происходит и с Мнимой Единицей: i² = i × i = (√-1)² = -1.

— Ну, это понятно. А как же действительное число — минус единица превращается в мнимое?

— При этом Мнимая Единица возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень: i³ = i²× i.

А это ведь все равно что умножить минус единицу на i: -1 × i = -i.

— Теперь, — сказал Олег, — нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом -i превращается в Действительную Единицу со знаком плюс +1. Она возводится в четвертую степень: i⁴ = i² × i²

А это можно представить себе и так: -1 × -1 = +1.

— Прекрасно! — воскликнула Мнимая Единичка. — Остается выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.

В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.

— Не может быть! i⁵ равно i?! — растерялись мы. — Что же это такое?

— Да ничего особенного: i⁴ = 1. Чтобы получить i⁵, умножим единицу на i. А это ведь все равно что i, взятое один раз, то есть просто i: 1 × i = i.

— Вот так история! Мнимую Единицу нельзя возвести более чем в четвертую степень? — удивился Олег.