Читать «Космос: Эволюция Вселенной, жизни и цивилизации» онлайн - страница 248

Мы приведем современную версию доказательства иррациональности квадратного корня из двух, опирающуюся на reductio ad absurdum и простые алгебраические выкладки, а не чисто геометрическое доказательство, открытое пифагорейцами. Стиль доказательства и способ размышления не менее интересны, чем получаемый результат.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной единице (одному сантиметру, одному дюйму, одному световому году — не суть важно).

Диагональ ВС делит квадрат на два прямоугольных треугольника. В таких прямоугольных треугольниках, согласно теореме Пифагора, 1² + 1² = х². Поскольку 1² +1² = 1 + 1 = 2, то х² = 2, и мы можем записать, что х = √2, то есть корню квадратному из двух. Предположим, что √2 является рациональным числом, то есть √2 = p/q, где p и q — целые числа. Они могут быть любыми, сколь угодно большими, но обязательно целыми числами. Мы, конечно, потребуем, чтобы у них не было общих делителей. Если мы, например, заявляем, что √2 = 14/10, то, безусловно, можем сократить эту дробь на множитель 2 и записать: p = 7, q = 5 вместо p = 14, q = 10. Будем далее считать, что у числителя и знаменателя сокращены все общие множители. Для выбора значений p и q y нас остается бесконечное число вариантов. Возведя в квадрат равенство √2 = p/q, получим: 2 = р²/q², или после домножения обеих частей на q²:

p² = 2q² (1)

Таким образом, р² представляет собой некоторое число, умноженное на 2. Однако квадрат любого нечетного числа является нечетным числом (1² = 1,3² = 9,5² = 25,7² = 49 и т. д.). Получается, что само число ρ должно быть четным, то есть можно записать ρ = 2s, где s — некоторое целое число. Подставив его в уравнение (1), находим:

p² = (2s)² = 4s² = 2q².

Деление обеих частей последнего равенства на 2 дает: g 2 = 2s 2. То есть q 2 тоже является целым числом, и, опираясь на тот же аргумент, что был использован для р, мы заключаем, что q тоже является четным. Но если числа p и q оба делятся на два, значит, они содержат несокращенный общий делитель, что противоречит нашему предположению. Reductio ad absurdum. Но в чем состояло предположение? Доказательство не может запретить нам сократить общие множители, разрешив использовать 14/10, но запретив 7/5. Поэтому ошибочным должно быть начальное предположение: p и q не могут быть целыми числами, a √2 является иррациональным числом. В действительности √2 = 1,4142135…

Насколько ошеломляющее и неожиданное заключение! Какое элегантное доказательство! Но пифагорейцы считали необходимым скрывать это великое открытие.

Приложение 2. Пять пифагоровых тел

Правильный многоугольник — это двумерная фигура с определенным числом η одинаковых сторон. В случае η = 3 получается равносторонний треугольник, при η = 4 — квадрат, при η = 5 — правильный пятиугольник и т. д. Многогранник — это трехмерная фигура, все стороны которой являются многоугольниками. Например, куб имеет шесть квадратных граней. Правильным называют многогранник, все грани которого представляют собой одинаковые правильные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Для работ пифагорейцев и Кеплера фундаментальное значение имеет факт, что существует пять, и только пять, правильных тел. Простейшее доказательство этого факта можно получить из открытого значительно позже Декартом и Леонардом Эйлером соотношения, связывающего число граней F, число ребер Е и число вершин И в любом многограннике: