Читать «Апология математики, или О математике как части духовной культуры» онлайн - страница 57

Чтобы понять, как такое возможно, надо напрячь воображение, а затем рассуждать по аналогии.

Вообразим себе обычную двумерную сферу, населённую двумерными же существами; их принято называть флатландцами. Мы с вами живём на сфере (на поверхности Земли), флатландцы же пребывают в теле сферы, в её «толще»; эта «толща», конечно, не имеет толщины, но ведь и флатландцы её не имеют. Органы чувств не позволяют флатландцам ощутить что-нибудь вне пределов этой сферы, которая для них составляет Вселенную. Сфера большая, а двумерные жители обитают на небольшом её участке и — внимание! — полагают, что их Вселенная представляет собою двумерное евклидово пространство, то есть плоскость. Посмотрим, что может поколебать их в этом убеждении. Если считать, что флатландцы умеют видеть чрезвычайно далеко, то удалённый от них объект они видят с двух сторон: ведь в их Вселенной луч света идёт по сфере, огибая её. Космический путешественник, двигающийся всё время в одну сторону, возвращается, обогнув сферу, в исходную точку. Радиус окружности двумерные существа проводят по сфере, и его длина оказывается больше радиуса той же окружности, проведённого в недоступном им «внешнем» пространстве, — а потому длина окружности окажется меньшей, нежели та, которая вычисляется через «фатландский радиус» по нашей школьной формуле. Посмотрим теперь, что произойдёт, если двумерный экспериментатор окружит себя канцелярской резинкой, способной неограниченно растягиваться, придаст ей форму окружности и станет увеличивать радиус этой окружности. Сперва длина окружности будет возрастать, а после прохождения через «экватор» уменьшаться и в итоге уменьшится до нуля.

А теперь картину, только что изложенную нами для двумерного мира, надо по аналогии перенести на мир трёхмерный. Мы, как и флатландцы, убеждены, что пребываем в «прямом» евклидовом пространстве школьной геометрии. Однако не исключено, что на самом деле — в (не «на», а «в») сфере, только трёхмерной. И эту трёхмерную сферу можно представлять себе расположенной в евклидовом четырёхмерном пространстве — наподобие того, как двумерная сфера расположена в пространстве трёхмерном. Четырёхмерного пространства мы, разумеется, не воспринимаем своими органами чувств, но ведь и флатландцы не воспринимают пространства трёхмерного. Как и флатландцы, мы можем убедиться в кривизне мира, увидев какой-нибудь весьма отдалённый предмет с двух противоположных сторон или сравнивая длину окружности с той, которая выражает эту длину через радиус по стандартной, известной из школы формуле. Вместо эксперимента с канцелярской резинкой надлежит произвести тот эксперимент с растягивающейся плёнкой, о котором было сказано выше.