Читать «Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi» онлайн - страница 13

О-нотация

Для выражения характеристик быстродействия удобно иметь более компактное определение, нежели "быстродействие алгоритма X пропорционально количеству элементов в третьей степени" или что-нибудь в этом роде. В вычислительной технике уже есть короткая и более удобная схема - О-нотация (big-Oh notation).

В этой нотации используется специальная математическая функция от n, т.е. количества элементов, которой пропорционально быстродействие алгоритма. Таким образом, мы говорим, что алгоритм принадлежит к классу O(f(n)), где f(n) - некоторая функция от n. Приведенное обозначение читается как "О большое от f(n)" или, менее строго, "пропорционально f(n)".

Например, наши эксперименты показали, что последовательный поиск принадлежит к классу O(n), а бинарный - к классу O(log(n)). Поскольку для положительных чисел n log(n) < n, можно сделать вывод о том, что бинарный поиск всегда быстрее, чем последовательный. Тем не менее, немного ниже будут приведены несколько замечаний, касающихся выводов, сделанных из О-нотации.

О-нотация проста и удобна. Предположим, что экспериментальным путем было определено, что алгоритм X принадлежит к классу O(n(^2^) + n). Другими словами, его быстродействие пропорционально n(^2^) + n. Под словом "пропорционально" понимается, что можно найти такую константу к, для которой

Быстродействие = к * (n(^2^) + n)

Из приведенного уравнения видно, что умножение математической функции внутри скобок в О-нотации на константу не оказывает никакого влияния на смысл нотации. Так, например, O(3*f(n)) эквивалентно O(f(n)), поскольку 3 можно без последствий вынести как коэффициент пропорциональности, который мы игнорируем.

Если величина n при тестировании алгоритма X достаточно велика, можно сказать, что влияние члена поглощается членом "n(^2^). Другими словами, при больших значениях n алгоритм O(n(^2^)+n) эквивалентен алгоритму O(n(^2^)). То же можно сказать и для n более высоких степеней. Так, для достаточно больших n влияние члена n(^2^) будет поглощено влиянием члена n(^3^). В свою очередь, влияние члена log(n) будет поглощаться влиянием члена n и т.д.

Из приведенного примера видно, что О-нотация подчиняется очень простым арифметическим правилам. Давайте предположим, что есть алгоритм, который выполняет несколько различных задач. Первая задача сама по себе принадлежит к классу О(n), вторая - к классу O(n(^2^)), а третья - к классу O(log(n)). Необходимо определить быстродействие алгоритма в целом. Ответом будет O(n(^2^)), поскольку к этому классу принадлежит доминантная часть алгоритма.

В этом и заключается первое замечание, касающееся выводов, следующих из О-нотации. Значения О большого являются репрезентативными для больших значений n. Для маленьких значений О-нотация не имеет смысла, а на общий результат оказывают влияние другие члены нотации. Например, предположим, что проводилось тестирование двух алгоритмов. На основе статистических данных были выведены следующие зависимости: