Читать «Занимательная математика» онлайн - страница 42

— Скорость ракет пусть будет, скажем, 1 миля в секунду. При таком расположении все четыре ракеты после запуска будут постепенно поворачиваться вправо по часовой стрелке, держа курс на свою цель, и в конце концов столкнутся в центре квадрата. Требуется определить, какое расстояние успеют пролететь ракеты от запуска до столкновения.

— Это очень трудная математическая задача, — задумчиво произнес Джек. — Для решения ее, по-видимому, придется ввести полярные координаты с началом в центре квадрата, тогда я смогу написать дифференциальное уравнение для траекторий ракет. Но, разумеется, я не могу сделать это, не сходя с места.

— В этом-то все и дело. Всякий, кто знает высшую математику, может решить эту задачку, но вся соль в том и состоит, чтобы найти ее решение, настолько простое, что понять его смог всякий

— Не думаю, чтобы такое решение можно было найти. Мне кажется, что траектории ракет имеют форму весьма замысловатых геометрических фигур.

— Вся хитрость в том и состоит, что знать траектории ракет тебе совсем не нужно. Все, что необходимо иметь в виду для решения, — простой и очевидный факт: во время полета четыре ракеты располагаются в вершинах квадрата, который сжимается и поворачивается по часовой стрелке. Забудем о вращении и сосредоточим внимание только на сжатии квадрата. Так как ракеты нацелены друг на друга, скорость каждой ракеты всегда направлена вдоль одной из сторон сжимающегося квадрата на ракету, расположенную в соседней вершине. Следовательно, скорость, с которой сжимаются стороны квадрата, равна скорости ракет, т. е. составляет 1 милю в секунду. А так как первоначально каждая ракета находилась на расстоянии 20 миль от цели, от запуска до столкновения ракет проходит 20 секунд.

— Очень, очень интересно, — произнес Джек. — Надо будет как- нибудь на маневрах проверить решение на четырех истребителях. Вот потеха получится!

Дозаправка

— А вот еще одна задача, которая, возможно, заинтересует вас, друзья, — вмешался в разговор другой летчик. — Предположим, что вы получили задание доставить бомбу в некоторую удаленную точку земного шара, расстояние до которой во много раз превосходит дальность полета без дозаправки имеющегося в вашем распоряжении самолета. Вам не остается ничего другого, как воспользоваться методом дозаправки в воздухе. Предположим, что одновременно с одного и того же аэродрома взлетают несколько одинаковых самолетов, которые дозаправляют друг друга в воздухе и постепенно, один за другим, прекращают полет.

Сколько самолетов понадобится вам для выполнения задания? Для простоты мы будем предполагать, что расход топлива измеряется в милях на галлон и не зависит от нагрузки самолета.

— Знаешь, мы все слишком устали, чтобы решать такие сложные задачи, поэтому ты просто сообщи нам решение, — предложил один из летчиков.

— Будь по-вашему. Предположим, что первоначально в вашем распоряжении имеется n одинаковых самолетов, включая тот, на борту которого находится бомба, и что топливные баки всех самолетов перед вылетом полностью заправлены. В полете наступает такой момент, когда в баках любого из n самолетов топлива остается ровно столько, сколько необходимо для полной заправки топливных баков всех (n — 1) остальных самолетов. Например, если с аэродрома в полет отправились 10 самолетов и каждый нес в топливных баках 10 000 галлонов топлива, то они летят до тех пор, пока у каждого не останется по 9000 галлонов топлива. В этот момент все топливо, находящееся на борту одного из 10 самолетов, используется для дозаправки 9 остальных самолетов, самолет с опустошенными баками прекращает полет, а остальные самолеты продолжат полет с полностью заправленными топливными баками. Следующая дозаправка производится, когда запас топлива в баках каждого самолета уменьшится на 1/9. Самолет-заправщик, отдав все имевшееся у него топливо, совершает посадку, а остальные 8 самолетов с полностью заправленными топливными баками продолжают полет. Следующие дозаправки производятся, когда запас топлива в баках каждого самолета уменьшится на 1/8, 1/7 и т. д., пока не останется один-единственный самолет, на борту которого находится бомба. Израсходовав все топливо до последней капли, он достигает цели и сбрасывает бомбу.